邏輯通路/孟氏定理

假設 A、B、C 為（平面上或空間中）不共線三點，D、E、F 分別為直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\text{BC}}},\;{\overset {\longleftrightarrow }{\text{CA}}},\;{\overset {\longleftrightarrow }{\text{AB}}}$ 上異於 A、B、C 的三點，則我們可以推得下列的事實： D、E、F 三點共線 $\Longleftrightarrow \left({\frac {\overrightarrow {BD}}{\overrightarrow {DC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {CE}}{\overrightarrow {EA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AF}}{\overrightarrow {FB}}}\right)=-1$

證明

• 我們先證明如果 D、E、F 三點共線的話，則上面所提的三個「有向比」的乘積為 -1。

如右圖，我們從 A、B、C 分別作垂線到直線 DEF 上。假設它們的垂足分別為 G、H、I，根據「有向比性質 (1)」，我們可以得知：

${\dfrac {\overrightarrow {\mbox{BD}}}{\overrightarrow {\mbox{DC}}}}={\dfrac {\overrightarrow {\mbox{BH}}}{\overrightarrow {\mbox{IC}}}},\quad {\dfrac {\overrightarrow {\mbox{CE}}}{\overrightarrow {\mbox{EA}}}}={\dfrac {\overrightarrow {\mbox{CI}}}{\overrightarrow {\mbox{GA}}}},\quad {\dfrac {\overrightarrow {\mbox{AF}}}{\overrightarrow {\mbox{FB}}}}={\dfrac {\overrightarrow {\mbox{AG}}}{\overrightarrow {\mbox{HB}}}}$

所以，

	$\left({\frac {\overrightarrow {BD}}{\overrightarrow {DC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {CE}}{\overrightarrow {EA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AF}}{\overrightarrow {FB}}}\right)$
=	$\left({\frac {\overrightarrow {BH}}{\overrightarrow {IC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {CI}}{\overrightarrow {GA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AG}}{\overrightarrow {HB}}}\right)$
=	$\left({\frac {\overrightarrow {CI}}{\overrightarrow {IC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AG}}{\overrightarrow {GA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {BH}}{\overrightarrow {HB}}}\right)$	..... 根據「有向比性質 (2)」
=	(-1)(-1)(-1)
=	-1

因此，我們證明了三個「有向比」的乘積為 -1。

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• 其次，我們來證明：如果三個「有向比」的乘積為 -1，則 D、E、F 三點共線

首先，我們考慮直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 。

直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 可能與直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{BC}}}}$ 平行或相交，所以底下我們分成兩個路徑來思考：

(1) 直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 與直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{BC}}}}$ 平行

(2) 直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 與直線 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{BC}}}}$ 相交

參考資料

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