逻辑通路/孟氏定理

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MenelausTheorem (1).png

假设 A、B、C 为(平面上或空间中)不共线三点,D、E、F 分别为直线 上异于 A、B、C 的三点,则我们可以推得下列的事实:

D、E、F 三点共线

证明[编辑]

Menelaus Theorem (2).png
  • 我们先证明如果 D、E、F 三点共线的话,则上面所提的三个“有向比”的乘积为 -1
如右图,我们从 A、B、C 分别作垂线到直线 DEF 上。假设它们的垂足分别为 G、H、I,根据“有向比性质 (1)”,我们可以得知:
所以,
   
=  
=     ..... 根据“有向比性质 (2)
= (-1)(-1)(-1)  
= -1  
因此,我们证明了三个“有向比”的乘积为 -1

  • 其次,我们来证明:如果三个“有向比”的乘积为 -1,则 D、E、F 三点共线
首先,我们考虑直线
直线 可能与直线 平行或相交,所以底下我们分成两个路径来思考:
(1) 直线 与直线 平行
(2) 直线 与直线 相交

参考资料[编辑]

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