逻辑通路/孟氏定理

假设 A、B、C 为（平面上或空间中）不共线三点，D、E、F 分别为直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\text{BC}}},\;{\overset {\longleftrightarrow }{\text{CA}}},\;{\overset {\longleftrightarrow }{\text{AB}}}$ 上异于 A、B、C 的三点，则我们可以推得下列的事实： D、E、F 三点共线 $\Longleftrightarrow \left({\frac {\overrightarrow {BD}}{\overrightarrow {DC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {CE}}{\overrightarrow {EA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AF}}{\overrightarrow {FB}}}\right)=-1$

证明

• 我们先证明如果 D、E、F 三点共线的话，则上面所提的三个“有向比”的乘积为 -1。

如右图，我们从 A、B、C 分别作垂线到直线 DEF 上。假设它们的垂足分别为 G、H、I，根据“有向比性质 (1)”，我们可以得知：

${\dfrac {\overrightarrow {\mbox{BD}}}{\overrightarrow {\mbox{DC}}}}={\dfrac {\overrightarrow {\mbox{BH}}}{\overrightarrow {\mbox{IC}}}},\quad {\dfrac {\overrightarrow {\mbox{CE}}}{\overrightarrow {\mbox{EA}}}}={\dfrac {\overrightarrow {\mbox{CI}}}{\overrightarrow {\mbox{GA}}}},\quad {\dfrac {\overrightarrow {\mbox{AF}}}{\overrightarrow {\mbox{FB}}}}={\dfrac {\overrightarrow {\mbox{AG}}}{\overrightarrow {\mbox{HB}}}}$

所以，

	$\left({\frac {\overrightarrow {BD}}{\overrightarrow {DC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {CE}}{\overrightarrow {EA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AF}}{\overrightarrow {FB}}}\right)$
=	$\left({\frac {\overrightarrow {BH}}{\overrightarrow {IC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {CI}}{\overrightarrow {GA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AG}}{\overrightarrow {HB}}}\right)$
=	$\left({\frac {\overrightarrow {CI}}{\overrightarrow {IC}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {AG}}{\overrightarrow {GA}}}\right)\left({\frac {\overrightarrow {BH}}{\overrightarrow {HB}}}\right)$	..... 根据“有向比性质 (2)”
=	(-1)(-1)(-1)
=	-1

因此，我们证明了三个“有向比”的乘积为 -1。

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• 其次，我们来证明：如果三个“有向比”的乘积为 -1，则 D、E、F 三点共线

首先，我们考虑直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 。

直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 可能与直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{BC}}}}$ 平行或相交，所以底下我们分成两个路径来思考：

(1) 直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 与直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{BC}}}}$ 平行

(2) 直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{DE}}}}$ 与直线 ${\overset {\longleftrightarrow }{\scriptstyle {\text{BC}}}}$ 相交

参考资料

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