邏輯通路/孟氏定理

假設 A、B、C 為（平面上或空間中）不共線三點，D、E、F 分別為直線 $\stackrel{⟷}{\text{BC}},\stackrel{⟷}{\text{CA}},\stackrel{⟷}{\text{AB}}$ 上異於 A、B、C 的三點，則我們可以推得下列的事實： D、E、F 三點共線 $⟺\left(\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FB}}\right)=-1$

證明

• 我們先證明如果 D、E、F 三點共線的話，則上面所提的三個「有向比」的乘積為 -1。

如右圖，我們從 A、B、C 分別作垂線到直線 DEF 上。假設它們的垂足分別為 G、H、I，根據「有向比性質 (1)」，我們可以得知：

$\frac{\overrightarrow{\text{BD}}}{\overrightarrow{\text{DC}}}=\frac{\overrightarrow{\text{BH}}}{\overrightarrow{\text{IC}}},\frac{\overrightarrow{\text{CE}}}{\overrightarrow{\text{EA}}}=\frac{\overrightarrow{\text{CI}}}{\overrightarrow{\text{GA}}},\frac{\overrightarrow{\text{AF}}}{\overrightarrow{\text{FB}}}=\frac{\overrightarrow{\text{AG}}}{\overrightarrow{\text{HB}}}$

所以，

	$\left(\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{AF}}{\overrightarrow{FB}}\right)$
=	$\left(\frac{\overrightarrow{BH}}{\overrightarrow{IC}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{GA}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{HB}}\right)$
=	$\left(\frac{\overrightarrow{CI}}{\overrightarrow{IC}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{GA}}\right)\left(\frac{\overrightarrow{BH}}{\overrightarrow{HB}}\right)$	..... 根據「有向比性質 (2)」
=	(-1)(-1)(-1)
=	-1

因此，我們證明了三個「有向比」的乘積為 -1。

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• 其次，我們來證明：如果三個「有向比」的乘積為 -1，則 D、E、F 三點共線

首先，我們考慮直線 $\stackrel{⟷}{\text{DE}}$ 。

直線 $\stackrel{⟷}{\text{DE}}$ 可能與直線 $\stackrel{⟷}{\text{BC}}$ 平行或相交，所以底下我們分成兩個路徑來思考：

(1) 直線 $\stackrel{⟷}{\text{DE}}$ 與直線 $\stackrel{⟷}{\text{BC}}$ 平行

(2) 直線 $\stackrel{⟷}{\text{DE}}$ 與直線 $\stackrel{⟷}{\text{BC}}$ 相交

參考資料

維基百科中的相關條目：

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