高中数学(版聊式)/必修一/基本初等函数/指数函数与对数函数

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指数与指数幂的运算[编辑]

根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。

有理指数及其运算[编辑]

定义:若,其中是正整数,则称次方根。容易看出,若为奇数,则存在唯一的次方根,我们记做。而若为偶数,当为负数时无次方根,是有唯一次方根0,时有两个互为相反数的次方根,记正的次方根为,负的次方根为

有了n次方根的定义,我们就可以定义有理数次幂的概念。

定义1:设为互素的正整数,为正数,定义
定义2:设是负有理数,是正数,则定义

这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则:

  1. (其中为正数,为有理数)

如此,我们就把指数的概念推广到了有理数,我们接下来将这一概念推广到全体实数。

无理指数及其运算[编辑]

无理数指数幂的运算与有理数相同,可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。

指数函数[编辑]

什么是指数函数?[编辑]

一般的,形如()的函数称作指数函数。

图像[编辑]

图1:指数函数y=3x的图像(用几何画板5.06绘制)

指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线,x轴是它的渐近线,如图1.

性质[编辑]

相关属性
图像
函数图象(用几何画板5.06绘制)
的图像
相同点 经过的定点 (0,1)
奇偶性 非奇非偶
定义域和值域 定义域;值域
不同点 单调性 单调递增 单调递减
对应值 时,时, 时,时,
与x、y轴的关系 越大,向上越靠近y轴,向下越靠近x轴 越小,向上越靠近y轴,向下越靠近x轴


对数及其运算[编辑]

什么是对数?[编辑]

一般的,若),那么就可以称作以为底N的对数,记作

根据定义可以看出,指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提,关于对数的问题可以用指数作为桥梁。

特殊对数:[编辑]

以10为底的对数称作常用对数,记作

以无理数为底的对数称作自然对数,记作

根据对数的定义可以得到对数的性质:[编辑]

  • 负数和0没有对数,即中,
  • 1的对数是0
  • 底数的对数为1
  • 对数恒等式:

对数的运算性质:[编辑]

对数函数是,那么可以将称作以为底N的对数,记作指数函数的反函数。也就是

可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢,就用新符号表达,也就是

表示两函数等价)

对数函数在历史上备受重视,可是现在用处很少,基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是(上文提到过的),数学家为了符号简略,把简写为