根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。
定义:若,其中,是正整数,则称是的次方根。容易看出,若为奇数,则存在唯一的次方根,我们记做。而若为偶数,当为负数时无次方根,是有唯一次方根0,时有两个互为相反数的次方根,记正的次方根为,负的次方根为 。
有了n次方根的定义,我们就可以定义有理数次幂的概念。
定义1:设为互素的正整数,为正数,定义。
定义2:设是负有理数,是正数,则定义。
这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则:
- (其中为正数,为有理数)
如此,我们就把指数的概念推广到了有理数,我们接下来将这一概念推广到全体实数。
无理数指数幂的运算与有理数相同,可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。
一般的,形如(且)的函数称作指数函数。
指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线,x轴是它的渐近线,如图1.
相关属性
|
|
|
图像
|
|
|
相同点
|
经过的定点
|
(0,1)
|
奇偶性
|
非奇非偶
|
定义域和值域
|
定义域;值域
|
不同点
|
单调性
|
单调递增
|
单调递减
|
对应值
|
当时,;时,
|
当时,;时,
|
与x、y轴的关系
|
越大,向上越靠近y轴,向下越靠近x轴
|
越小,向上越靠近y轴,向下越靠近x轴
|
一般的,若(且),那么就可以称作以为底N的对数,记作
根据定义可以看出,指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提,关于对数的问题可以用指数作为桥梁。
以10为底的对数称作常用对数,记作
以无理数为底的对数称作自然对数,记作
- 负数和0没有对数,即中,
- 1的对数是0
- 底数的对数为1
- 对数恒等式:
对数函数是,那么可以将称作以为底N的对数,记作指数函数的反函数。也就是。
可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢,就用新符号表达,也就是
(表示两函数等价)
对数函数在历史上备受重视,可是现在用处很少,基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是(上文提到过的),数学家为了符号简略,把简写为