指數與指數冪的運算[編輯]
根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。
有理指數及其運算[編輯]
定义:若
,其中
,
是正整数,则称
是
的
次方根。容易看出,若
为奇数,则
存在唯一的
次方根,我们记做
。而若
为偶数,当
为负数时无
次方根,
是有唯一
次方根0,
时有两个互为相反数的
次方根,记正的
次方根为
,负的
次方根为
。
有了n次方根的定義,我們就可以定義有理數次冪的概念。
定义1:设
为互素的正整数,
为正数,定义
。
定义2:设
是负有理数,
是正数,则定义
。
這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則:


(其中
為正數,
為有理數)
如此,我們就把指數的概念推廣到了有理數,我們接下來將這一概念推廣到全體實數。
無理指數及其運算[編輯]
無理數指數冪的運算與有理數相同,可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。
指數函數[編輯]
什麼是指數函數?[編輯]
一般的,形如
(
且
)的函數稱作指數函數。
圖1:指數函數y=3
x的圖像(用幾何畫板5.06繪製)
指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線,x軸是它的漸近線,如圖1.
對數及其運算[編輯]
什麼是對數?[編輯]
一般的,若
(
且
),那么
就可以称作以
为底N的对数,记作
根據定義可以看出,指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提,關於對數的問題可以用指數作為橋樑。
特殊對數:[編輯]
以10為底的對數稱作常用對數,記作
以無理數
為底的對數稱作自然對數,記作
根據對數的定義可以得到對數的性質:[編輯]
- 負數和0沒有對數,即
中,
- 1的對數是0
- 底數的對數為1
- 對數恆等式:

對數的運算性質:[編輯]




對數函數是,那麼可以將
稱作以
為底N的對數,記作
指數函數的反函數。也就是
。
可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢,就用新符號
表達,也就是
(
表示兩函數等價)
對數函數在歷史上備受重視,可是現在用處很少,基本只在微積分學裏使用。微積分學裏對數的底都是
(上文提到過的),數學家為了符號簡略,把
簡寫為