根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。
定义:若,其中,是正整数,则称是的次方根。容易看出,若为奇数,则存在唯一的次方根,我们记做。而若为偶数,当为负数时无次方根,是有唯一次方根0,时有两个互为相反数的次方根,记正的次方根为,负的次方根为 。
有了n次方根的定義,我們就可以定義有理數次冪的概念。
定义1:设为互素的正整数,为正数,定义。
定义2:设是负有理数,是正数,则定义。
這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則:
- (其中為正數,為有理數)
如此,我們就把指數的概念推廣到了有理數,我們接下來將這一概念推廣到全體實數。
無理數指數冪的運算與有理數相同,可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。
一般的,形如(且)的函數稱作指數函數。
指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線,x軸是它的漸近線,如圖1.
相關屬性
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圖像
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相同點
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經過的定點
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(0,1)
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奇偶性
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非奇非偶
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定義域和值域
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定義域;值域
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不同點
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單調性
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單調遞增
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單調遞減
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對應值
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當時,;時,
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當時,;時,
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與x、y軸的關係
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越大,向上越靠近y軸,向下越靠近x軸
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越小,向上越靠近y軸,向下越靠近x軸
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一般的,若(且),那么就可以称作以为底N的对数,记作
根據定義可以看出,指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提,關於對數的問題可以用指數作為橋樑。
以10為底的對數稱作常用對數,記作
以無理數為底的對數稱作自然對數,記作
- 負數和0沒有對數,即中,
- 1的對數是0
- 底數的對數為1
- 對數恆等式:
對數函數是,那麼可以將稱作以為底N的對數,記作指數函數的反函數。也就是。
可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢,就用新符號表達,也就是
(表示兩函數等價)
對數函數在歷史上備受重視,可是現在用處很少,基本只在微積分學裏使用。微積分學裏對數的底都是(上文提到過的),數學家為了符號簡略,把簡寫為