高中數學(版聊式)/必修一/基本初等函數/指數函數與對數函數

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指數與指數冪的運算[編輯]

根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。

有理指數及其運算[編輯]

定义:若,其中是正整数,则称次方根。容易看出,若为奇数,则存在唯一的次方根,我们记做。而若为偶数,当为负数时无次方根,是有唯一次方根0,时有两个互为相反数的次方根,记正的次方根为,负的次方根为

有了n次方根的定義,我們就可以定義有理數次冪的概念。

定义1:设为互素的正整数,为正数,定义
定义2:设是负有理数,是正数,则定义

這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則:

  1. (其中為正數,為有理數)

如此,我們就把指數的概念推廣到了有理數,我們接下來將這一概念推廣到全體實數。

無理指數及其運算[編輯]

無理數指數冪的運算與有理數相同,可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。

指數函數[編輯]

什麼是指數函數?[編輯]

一般的,形如()的函數稱作指數函數。

圖像[編輯]

圖1:指數函數y=3x的圖像(用幾何畫板5.06繪製)

指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線,x軸是它的漸近線,如圖1.

性質[編輯]

相關屬性
圖像
函數圖象(用幾何畫板5.06繪製)
的圖像
相同點 經過的定點 (0,1)
奇偶性 非奇非偶
定義域和值域 定義域;值域
不同點 單調性 單調遞增 單調遞減
對應值 時,時, 時,時,
與x、y軸的關係 越大,向上越靠近y軸,向下越靠近x軸 越小,向上越靠近y軸,向下越靠近x軸


對數及其運算[編輯]

什麼是對數?[編輯]

一般的,若),那么就可以称作以为底N的对数,记作

根據定義可以看出,指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提,關於對數的問題可以用指數作為橋樑。

特殊對數:[編輯]

以10為底的對數稱作常用對數,記作

以無理數為底的對數稱作自然對數,記作

根據對數的定義可以得到對數的性質:[編輯]

  • 負數和0沒有對數,即中,
  • 1的對數是0
  • 底數的對數為1
  • 對數恆等式:

對數的運算性質:[編輯]

對數函數是,那麼可以將稱作以為底N的對數,記作指數函數的反函數。也就是

可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢,就用新符號表達,也就是

表示兩函數等價)

對數函數在歷史上備受重視,可是現在用處很少,基本只在微積分學裏使用。微積分學裏對數的底都是(上文提到過的),數學家為了符號簡略,把簡寫為