高中數學（版聊式）/必修一/基本初等函數/指數函數與對數函數

指數與指數冪的運算

根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。

有理指數及其運算

定义：若 $x^{n} = a$ ，其中 $a \in R$ ， $n$ 是正整数，则称 $x$ 是 $a$ 的 $n$ 次方根。容易看出，若 $n$ 为奇数，则 $a$ 存在唯一的 $n$ 次方根，我们记做 $\sqrt[n]{a}$ 。而若 $n$ 为偶数，当 $a$ 为负数时无 $n$ 次方根， $a = 0$ 是有唯一 $n$ 次方根0, $a > 0$ 时有两个互为相反数的 $n$ 次方根，记正的 $n$ 次方根为 $\sqrt[n]{a}$ ，负的 $n$ 次方根为 $- \sqrt[n]{a}$   。

有了n次方根的定義，我們就可以定義有理數次冪的概念。

定义1：设 $m, n$ 为互素的正整数， $a$ 为正数，定义 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ 。

定义2：设 $r$ 是负有理数， $a$ 是正数，则定义 $a^{r} = \frac{1}{a^{- r}}$ 。

這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則：

$a^{r} a^{s} = a^{r + s}$
$(a^{r})^{s} = a^{r s}$
$(a b)^{r} = a^{r} b^{r}$ (其中 $a, b$ 為正數， $r, s$ 為有理數)

如此，我們就把指數的概念推廣到了有理數，我們接下來將這一概念推廣到全體實數。

無理指數及其運算

無理數指數冪的運算與有理數相同，可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。

指數函數

什麼是指數函數？

一般的，形如 $y = a^{x}$ ( $a > 0$ 且 $a \neq 1$ )的函數稱作指數函數。

圖像

指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線，x軸是它的漸近線，如圖1.

性質

相關屬性		$a > 1$	$0 < a < 1$
圖像		$Y = 2^{x}$ 函數圖象（用幾何畫板5.06繪製）	$Y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ 的圖像
相同點	經過的定點	（0,1）
	奇偶性	非奇非偶
	定義域和值域	定義域 $A \in R$ ；值域 $C \in (0, + \infty)$
不同點	單調性	單調遞增	單調遞減
	對應值	當 $x > 0$ 時， $y > 1$ ； $x < 0$ 時， $y < 1$	當 $x > 0$ 時， $y < 1$ ； $x < 0$ 時， $y > 1$
	與x、y軸的關係	$a$ 越大，向上越靠近y軸，向下越靠近x軸	$a$ 越小，向上越靠近y軸，向下越靠近x軸

對數及其運算

什麼是對數？

一般的，若 $a^{x} > N$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），那么 $x$ 就可以称作以 $a$ 为底N的对数，记作 $x = \log_{a} N$

根據定義可以看出，指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提，關於對數的問題可以用指數作為橋梁。

特殊對數：

以10為底的對數稱作常用對數，記作 $\lg x$

以無理數 $e = 2.71828...$ 為底的對數稱作自然對數，記作 $\ln x$

根據對數的定義可以得到對數的性質：

負數和0沒有對數，即 $\log_{a} N$ 中， $N > 0$
1的對數是0
底數的對數為1
對數恆等式： $a^{\log_{a} N} = N$ $\log_{a} a^{x} = x$

對數的運算性質：

$\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$
$\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$
$\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M$

$\log_{a^{r}} N^{s} = (\frac{s}{r}) \log_{a} N$

對數函數是，那麼可以將 $x$ 稱作以 $a$ 為底N的對數，記作 $x = \log_{a} N$ 指數函數的反函數。也就是 $x = y^{a}$ 。

可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢，就用新符號 $\log$ 表達，也就是

$a^{y} = x \equiv y = \log_{a} x$ （ $\equiv$ 表示兩函數等價）

對數函數在歷史上備受重視，可是現在用處很少，基本只在微積分學裡使用。微積分學裡對數的底都是 $e$ （上文提到過的），數學家為了符號簡略，把 $\log_{e} x$ 簡寫為 $\ln x$