指数与指数幂的运算[编辑]
根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。
有理指数及其运算[编辑]
定义:若
,其中
,
是正整数,则称
是
的
次方根。容易看出,若
为奇数,则
存在唯一的
次方根,我们记做
。而若
为偶数,当
为负数时无
次方根,
是有唯一
次方根0,
时有两个互为相反数的
次方根,记正的
次方根为
,负的
次方根为
。
有了n次方根的定义,我们就可以定义有理数次幂的概念。
定义1:设
为互素的正整数,
为正数,定义
。
定义2:设
是负有理数,
是正数,则定义
。
这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则:


(其中
为正数,
为有理数)
如此,我们就把指数的概念推广到了有理数,我们接下来将这一概念推广到全体实数。
无理指数及其运算[编辑]
无理数指数幂的运算与有理数相同,可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。
指数函数[编辑]
什么是指数函数?[编辑]
一般的,形如
(
且
)的函数称作指数函数。
图1:指数函数y=3
x的图像(用几何画板5.06绘制)
指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线,x轴是它的渐近线,如图1.
对数及其运算[编辑]
什么是对数?[编辑]
一般的,若
(
且
),那么
就可以称作以
为底N的对数,记作
根据定义可以看出,指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提,关于对数的问题可以用指数作为桥梁。
特殊对数:[编辑]
以10为底的对数称作常用对数,记作
以无理数
为底的对数称作自然对数,记作
根据对数的定义可以得到对数的性质:[编辑]
- 负数和0没有对数,即
中,
- 1的对数是0
- 底数的对数为1
- 对数恒等式:

对数的运算性质:[编辑]




对数函数是,那么可以将
称作以
为底N的对数,记作
指数函数的反函数。也就是
。
可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢,就用新符号
表达,也就是
(
表示两函数等价)
对数函数在历史上备受重视,可是现在用处很少,基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是
(上文提到过的),数学家为了符号简略,把
简写为