高中数学/不等式与数列/等比数列

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阅读指南[编辑]

Crystal Clear app gnome 希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

预备知识[编辑]

阅读本节,需要先学习有关数列与通项公式的概念

考试要求[编辑]

基础知识[编辑]

知识引入[编辑]

  1. 理想条件下,细胞对半分裂的个数可以组成下面的数列:
  2. 一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿,通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒成为第二轮,以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是:

可以看到,这些数列都有一个特点:从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数。

定义与基本概念[编辑]

如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一常数,那么称这个数列为等比数列几何数列geometric sequence),这个非零的常数叫做等比数列的公比common ratio)。[1]

如果已知等比数列的首项和公比,通过依次倒推的方法,可以得到等比数列的通项公式:

Crystal Project Warehause为首项、为公比的等比数列的通项公式为:[1]

待定系数法求等比数列的通项公式[编辑]

错位相减法与等比数列前n项和公式[编辑]

对于等比数列,它的前n项的和是

根据等比数列的通项公式,上面的式子可以写成
…………①
我们发现,如果用公比q乘①的两边,可以得到:
…………②
①、②的右边有很多相同的项,用①分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,得
时,等比数列前n项和的公式为
因为,所以上面的公式还可以写成

Crystal Project Warehause为首项、为公比的等比数列的前n项和公式为:[1]

Crystal Clear action edit 相关例题: 国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者,问他想要什么。发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放1粒麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,以此类推,每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的2倍,直到第64个格子,请满足我的要求。”国王认为这个要求不高,就同意了。根据调查,目前世界小麦年产量为6亿吨。如果1000粒麦子的质量是40g,请判断国王能否实现它的诺言。[2]

解答:
我们分析一下,如果把各个格所放的麦粒看做一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。由,可得。这个数很大,超过了,估计一千粒麦子的质量约为40克,那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨。因此,国王根本不能实现他的诺言。

答案:国王不能实现他的诺言。

点评:这毕竟只是个故事。国王的脾气可能并不好,欺负国王没文化是很危险的。

常用结论与常见模型[编辑]

等比数列通项公式的变形[编辑]

等比数列的常用性质[编辑]

等比数列前n项和公式的变形[编辑]

等比数列前n项和的常用性质[编辑]

等比中项[编辑]

等差数列中等差中项的概念类似,如果在2个数a和b中间插入一个数g,使a、g、b按顺序成为一个等比数列,那么g叫做a和b的等比中项

等比数列常用判定方法[编辑]

补充习题[编辑]

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参考资料[编辑]

  1. 1.0 1.1 1.2 人民教育出版社中学数学室. 第3章“数列”第3.4节“等比数列”和第3.5节“等比数列的前n项和”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 122–129. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中国大陆)). 
  2. 人民教育出版社中学数学室. 第3章“数列”引言. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修). 第1册 (上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2003: 105. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]

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