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高中數學/不等式與數列/等比數列

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閱讀指南[編輯]

Crystal Clear app gnome 希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識[編輯]

閱讀本節,需要先學習有關數列與通項公式的概念

考試要求[編輯]

基礎知識[編輯]

知識引入[編輯]

  1. 理想條件下,細胞對半分裂的個數可以組成下面的數列:
  2. 一輪計算機病毒可以查找計算機中的地址簿,通過郵件進行傳播。如果把病毒製造者發送病毒稱為第一輪,郵件接收者發送病毒成為第二輪,以此類推。假設每一輪每一台計算機都感染20台計算機,那麼在不重複的情況下,這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是:

可以看到,這些數列都有一個特點:從第2項起,每一項與它前一項的比等於同一常數。

定義與基本概念[編輯]

如果一個數列從第2項起,每一項與它前一項的比等於同一常數,那麼稱這個數列為等比數列幾何數列geometric sequence),這個非零的常數叫做等比數列的公比common ratio)。[1]

如果已知等比數列的首項和公比,通過依次倒推的方法,可以得到等比數列的通項公式:

Crystal Project Warehause為首項、為公比的等比數列的通項公式為:[1]

待定係數法求等比數列的通項公式[編輯]

錯位相減法與等比數列前n項和公式[編輯]

對於等比數列,它的前n項的和是

根據等比數列的通項公式,上面的式子可以寫成
…………①
我們發現,如果用公比q乘①的兩邊,可以得到:
…………②
①、②的右邊有很多相同的項,用①分別減去②的兩邊,就可以消去這些相同的項,得
時,等比數列前n項和的公式為
因為,所以上面的公式還可以寫成

Crystal Project Warehause為首項、為公比的等比數列的前n項和公式為:[1]

Crystal Clear action edit 相關例題: 國際象棋起源於古代印度。相傳國王要獎勵國際象棋的發明者,問他想要什麼。發明者說:「請在棋盤的第1個格子裡放1粒麥粒,第2個格子裡放上2顆麥粒,第3個格子裡放上4顆麥粒,以此類推,每個格子裡放的麥粒都是前一個格子麥粒數的2倍,直到第64個格子,請滿足我的要求。」國王認為這個要求不高,就同意了。根據調查,目前世界小麥年產量為6億噸。如果1000粒麥子的質量是40g,請判斷國王能否實現它的諾言。[2]

解答:
我們分析一下,如果把各個格所放的麥粒看做一個數列,我們可以得到一個等比數列,它的首項是1,公比是2,求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒總和就是求這個數列前64項的和。由,可得。這個數很大,超過了,估計一千粒麥子的質量約為40克,那麼以上麥粒總質量超過了7000億噸。因此,國王根本不能實現他的諾言。

答案:國王不能實現他的諾言。

点评:这毕竟只是个故事。国王的脾气可能并不好,欺负国王没文化是很危险的。

常用結論與常見模型[編輯]

等比數列通項公式的變形[編輯]

等比數列的常用性質[編輯]

等比數列前n項和公式的變形[編輯]

等比數列前n項和的常用性質[編輯]

等比中項[編輯]

等差數列中等差中項的概念類似,如果在2個數a和b中間插入一個數g,使a、g、b按順序成為一個等比數列,那麼g叫做a和b的等比中項

等比數列常用判定方法[編輯]

補充習題[編輯]

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參考資料[編輯]

  1. 1.0 1.1 1.2 人民教育出版社中學數學室. 第3章「數列」第3.4節「等比數列」和第3.5節「等比數列的前n項和」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 122–129. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中國大陸)). 
  2. 人民教育出版社中學數學室. 第3章「數列」引言. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修). 第1冊 (上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2003: 105. ISBN 7-107-16755-3 (中文(中國大陸)). 

外部連結[編輯]

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