高中數學/不等式與數列/等比數列

閱讀指南

希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識

閱讀本節，需要先學習有關數列與通項公式的概念。

基礎知識

知識引入

1. 理想條件下，細胞對半分裂的個數可以組成下面的數列：$1,2,4,8,\cdots$
2. 一輪計算機病毒可以查找計算機中的地址簿，通過郵件進行傳播。如果把病毒製造者發送病毒稱為第一輪，郵件接收者發送病毒成為第二輪，以此類推。假設每一輪每一台計算機都感染20台計算機，那麼在不重複的情況下，這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是：$1,20,20^{2},20^{3},\cdots$。

可以看到，這些數列都有一個特點：從第2項起，每一項與它前一項的比等於同一常數。

定義與基本概念

如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的比等於同一常數，那麼稱這個數列為等比數列或幾何數列（geometric sequence），這個非零的常數叫做等比數列的公比（common ratio）。

如果已知等比數列$\{a_{n}\}$的首項$a_{1}$和公比$q\quad (q\neq 0)$，通過依次倒推的方法，可以得到等比數列的通項公式：
$a_{n}=a_{n-1}q=(a_{n-2}q)q=((a_{n-3}q)q)q=...=a_{1}q^{n-1}$。

以$a_{1}$為首項、$q\quad (q\neq 0)$為公比的等比數列的通項公式為：$a_{n}=a_{1}q^{n-1},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

錯位相減法與等比數列前n項和公式

對於等比數列$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots$，它的前n項的和是
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$
根據等比數列的通項公式，上面的式子可以寫成
$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}$…………①
我們發現，如果用公比q乘①的兩邊，可以得到：
$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q_{n}$…………②
①、②的右邊有很多相同的項，用①分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，得$\left(1-q\right)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}$
當$q\neq 1$時，等比數列前n項和的公式為$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}(q\neq 1)$
因為$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，所以上面的公式還可以寫成$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}}$

以$a_{1}$為首項、$q\quad (q\neq 0)$為公比的等比數列的前n項和公式為：$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

相關例題： 國際象棋起源於古代印度。相傳國王要獎勵國際象棋的發明者，問他想要什麼。發明者說：「請在棋盤的第1個格子裏放1粒麥粒，第2個格子裏放上2顆麥粒，第3個格子裏放上4顆麥粒，以此類推，每個格子裏放的麥粒都是前一個格子麥粒數的2倍，直到第64個格子，請滿足我的要求。」國王認為這個要求不高，就同意了。根據調查，目前世界小麥年產量為6億噸。如果1000粒麥子的質量是40g，請判斷國王能否實現它的諾言。

解答：
我們分析一下，如果把各個格所放的麥粒看做一個數列，我們可以得到一個等比數列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒總和就是求這個數列前64項的和。由$a_{1}=1,q=2,n=64$，可得$S_{64}={\frac {1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}}=2^{64}-1$。這個數很大，超過了$1.84\times 10^{1}9$，估計一千粒麥子的質量約為40克，那麼以上麥粒總質量超過了7000億噸。因此，國王根本不能實現他的諾言。

答案：國王不能實現他的諾言。

点评：这毕竟只是个故事。国王的脾气可能并不好，欺负国王没文化是很危险的。

常用結論與常見模型

等比中項

與等差數列中等差中項的概念類似，如果在2個數a和b中間插入一個數g，使a、g、b按順序成為一個等比數列，那麼g叫做a和b的等比中項。

補充習題

外部連結

維基百科中的相關條目：

等比數列