高中數學/向量與複數/複數的概念與基本運算

閱讀指南

對複數的研究起源於方程求解。後來人們發現並嚴格證明複數系對一切代數運算封閉，此即我們本節會提到的代數基本定理。換句話說，一切代數方程在複數範圍內始終有解。這是我們青睞複數的一大原因。另一方面，實數範圍內的眾多結果可以直接推廣到複數範圍內，有的時候還會得到更好的結果，這使人們轉而思考複數可能是比實數更加自然、更加普適的存在。

由於複數不是中學考試重點，傳統的高中數學教科書大多只對複數及其四則運算略作介紹，但是對發明複數的必要性語焉不詳。我們認為，如果要學習一個知識，就應該指出它能解決的一些問題，而不是為了後續課程的知識鋪墊而生硬地塞入一些看似無用的知識點。學習的靈魂是提出好的問題和解決困惑，而非堆砌知識。

預備知識

本節只介紹複數的基本概念和加減運算，基本上不需要依賴高中數學其它章節的知識。可以閱讀預備知識中的算術與代數部分，重點了解二次方程的求解即可。

考試要求

中學考試對複數的考察比較簡單，大部分還是變相地考實數運算或二次方程的問題。只要平時的學習不是在完全亂搞，實在不行考前搏一搏，搞定考試應該是小菜一碟的事情。

後續課程聯繫

複數理論和微積分學結合後產生的複分析既是基礎數學中最優雅的分支之一，也與在其它理、工類學科中應用極廣的偏微分方程理論聯繫密切（例如柯西-黎曼方程與拉普拉斯方程存在直接對應）。複數也在電路學和物理學中具有重要功能。如果說電路分析中的複數方法多半只是將其作為輔助計算的工具利用，那麼量子力學則是更直接地將世界的法則建立在複數和概率之上。

基礎知識

知識引入

人們在解方程的過程中嘗試解決負數不能開平方的不便，引進了一個有特殊運算法則的新數i，進而創造出複數。當然，古代的數學工作者並沒有想象到複數在後來的重要性。我們就以2個無實根的二次方程的求解來引入複數。

設二次方程$x^{2}+4x+5=0$。
由於判別式$\triangle =b^{2}-4ac=4^{2}-4\times 1\times 5=16-20<0$，此方程顯然沒有實數解。
但是我們仍可以繼續化簡：
$x^{2}+4x+5=0\quad \Rightarrow \quad (x^{2}+4x+4)=-1\quad \Rightarrow \quad (x+2)^{2}=-1$
如果定義特殊量$i\notin R$，使其滿足$i^{2}=-1$，那麼方程可以繼續求解：
$x+2=\pm i\quad \Rightarrow \quad x=-2\pm i$
其中引入的量i就叫做虛數單位（imaginary unit），藉助它可以表達在實數範圍內無解的方程的根。

再設二次方程$(x-1)^{2}=-9$。
藉助新關係式$i={\sqrt {-1}}$，可以嘗試求解此方程：
$(x-1)^{2}=(-1)\times 9\quad \Rightarrow \quad x-1={\sqrt {-1}}\times {\sqrt {9}}\quad \Rightarrow \quad x-1=(\pm i)\times 3\quad \Rightarrow \quad x=1\pm 3i$

提示：請注意我們在這裡使用的寫法$i={\sqrt {-1}}$和代數變形${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}\quad (a<0,b>0)$都是沒有論證過有效性的。但是讀者可以通過將算出的答案代入原方程來驗證答案的自洽性。

這2個例子主要只是粗略說明i的起源和最簡單用法，雖然看似沒有解決很大的問題，但隨着學習的深入，我們會逐漸發現虛數的作用遠不止如此。

複數和複平面的概念

複數（complex number）是形如$a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$的數，其中a叫做此複數的實數部分（簡稱實部，real part），b叫做此複數的虛數部分（簡稱虛部，imaginary part），i叫做虛數單位。除常規的加減乘除以外，我們額外規定虛數單位還滿足特殊運算規律$i^{2}=-1$。全體複數組成的集合叫做複數集（the set of all complex numbers），記作$\mathbb {C}$。其中當$b\neq 0$時，這樣的複數叫做虛數（imaginary number）；當$a=0,b\neq 0$時，這樣的複數叫做純虛數（purely imaginary number）。如果2個複數的實部和虛部都分別對應相等，那麼我們就稱這2個複數相等。

提示：(1)複數z的實部可以用記號記為Re(z)，虛部可以記為Im(z)。不過我們準備等到下一節複數與三角學再正式介紹這2個符號。(2)「數集」（number set）和「數系」（number system）可以說是同一個概念，「複數集」與「複數系」也是如此，可以自由混用。

複數除了可以寫成$a+bi$這樣的代數形式以外，還可以表示為幾何化的向量。可以用平面直角坐標系中一個坐標化的向量表示複數，也可以用特殊的平面極坐標描述的點表示一個複數。換句話說，正如實數可以和數軸上的點一一對應，複數可以與平面上的點一一對應起來。建立了直角坐標系表示全體複數的平面叫做複平面，其水平軸叫做實數軸，豎直軸叫做虛數軸。與平面向量類似，我們定義複數$a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$的模（modulus）為對應向量的長度，即${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$。

提示：(1)由於把複數看成向量是很自然的事情，如果已知一個數是複數，我們在將其視為向量描述時，經常會省略復向量的箭頭符號。(2)有的資料也把複數的模叫做絕對值（absolute value）。

由以上規定可知：

• 實數集是複數集的真子集。或者說，複數是實數的擴充。
• 一個數是實數，就肯定不是虛數。一個數是複數，則不一定是虛數。
• 我們沒有規定複數的大小概念。換句話說，複數不能直接比較大小。
• 複平面實軸上的點都表示實數，虛軸上的點都表示純虛數。

注意：把複數記為$a+bi$時，不要遺漏檢查$a,b\in \mathbb {R}$這一條件。否則，a、b不一定分別表示這個複數的實部和虛部。

相關例題1： 已知i是虛數單位，$z_{1}=(m^{2}+m+1)+(m^{2}+m-4)i,m\in \mathbb {R}$，則m = 1是$z_{1}=z_{2}$的(    )條件。（本題假定讀者已經了解基本的數理邏輯術語。）

A.充分不必要；B.必要不充分；C.充要；D.既不充分又不必要

相關例題2： 已知i是虛數單位，$a\in \mathbb {R} ,z=a^{2}+a-2+(a^{2}-3a+2)i$是純虛數，求a的值。

相關例題3： 已知i是虛數單位，複數$(a^{2}-3a+2)+(a-1)i$是純虛數，求實數a的值。

相關例題4： 已知i是虛數單位，複數$z={\frac {a^{2}-7a+6}{a^{2}-1}}+(a^{2}-5a-6)i,a\in \mathbb {R}$，求a取什麼值時：

(1) z是實數？

(2) z是虛數？

(3) z是純虛數？

相關例題5： 已知i是虛數單位，求當實數m取什麼值時，複數$z=(m^{2}-m-2)+(m^{2}-3m+2)i$分別是：

(1) 實數；

(2) 虛數；

(3) 純虛數。

相關例題6： 已知i是虛數單位，$z={\sqrt {3x-1}}-x+(x^{2}-4x+3)i,z\in \mathbb {R} ,x\in \mathbb {R} ,z>0$，求x的值。

相關例題7： 已知i是虛數單位，複數$z=(3m^{2}-5m+2)+(m-1)i\quad (m\in \mathbb {R} )$，${\bar {z}}$在複平面內對應的點在第四象限，求m的取值範圍。

相關例題8： 已知i是虛數單位，複數$z=(m^{2}-2m-3)+(m^{2}-4m+3)i\quad (m\in \mathbb {R} )$在複平面內對應的點的為z，求實數m取什麼值時，點z：

(1) 在實數軸上；

(2) 在虛軸上；

(3) 在第一象限。

複數的基本運算

設3個複數$z_{1}=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} ),z_{2}=c+di\quad (c,d\in \mathbb {R} ),z_{3}$，我們規定複數有以下代數運算：

• 虛數單位乘法特性：$i^{2}=-1$
• 加減法：$z_{1}\pm z_{2}=(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$
• 乘法：$z_{1}\times (z_{2})=(a+bi)\times (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$
• 除法定義為乘法的逆運算。

提示：我們會看到，2個複數的商仍然是複數（排除零當作除數的情況），所以這樣定義的除法是有意義的。

可以發現複數的四則運算滿足以下規則：

• 加法交換律：$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}$
• 加法結合律：$(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$
• 乘法交換律：$z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}$
• 乘法結合律：$(z_{1}*z_{2})*z_{3}=z_{1}*(z_{2}*z_{3})$
• 乘法對加法的分配律：$z_{1}(z_{2}+z_{3})=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}$
• 在等式兩邊同時加減或乘以一個複數後，等式仍然成立。

特別地，當一個複數的虛數部分為0時，實際上仍遵循實數運算法則。

虛數單位有以下常用等式：

• 整數次冪的周期性：$i^{n}=i^{n+4}=-i^{n+2}$
• $(1+i)^{2}=\pm 2i=\pm {\frac {1}{i}}=\mp i$

相關例題1： 已知i是虛數單位，對於複數$a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$，下列說法正確的是(    )。

A.$a=0\quad \Leftrightarrow \quad a+bi$為純虛數；

B.$b=0\quad \Leftrightarrow \quad a+bi$為實數；

C.$a+(b-1)i=3+2i\quad \Leftrightarrow \quad a=3,b=-3$；

D.-1的平方等於i。

相關例題2： 已知i是虛數單位，判斷下列說法正誤：

(1) 若$a\in \mathbb {R}$，則(a+1)是純虛數。

(2) 若$a,b\in \mathbb {R} ,a>b$，則$a+i^{3}>b+i^{3}$。

(3) 若$(x^{2}-1)+(x^{2}+3x+2)i$是純虛數，則實數$x=\pm 1$。

相關例題3： 已知i是虛數單位，(z - i) i = 2 + i，求z的值。

相關例題4： 已知i是虛數單位，$z\in \mathbb {C} ,(z+3)i=1$，求z的值。

相關例題5： 已知i是虛數單位，a是實數，b是純虛數，(2a - 1) + (3 - b) i = b - i，求a和b的值。

相關例題6： 已知i是虛數單位，$z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di,a,b,c,d\in \mathbb {R}$，求當$z_{1}-z_{2}$為純虛數時應該滿足的條件。

相關例題7： 已知i是虛數單位，$z_{1}=m^{2}-3m+m^{2}i,z_{2}=4+(5m+6)i,m\in \mathbb {R} ,z_{1}-z_{2}=0$，求m的值。

相關例題8： 已知i是虛數單位，$(m^{2}+i)(1+mi)\in \mathbb {R}$，求實數m的值。

相關例題9： 已知i是虛數單位，若複數z滿足(3 - 4i) z = 4 + 3i，求z的值。

在進行除法運算時，如果遇到除數為虛數的情況，通常先把$(a+bi)\div (c+di)$寫成${\frac {a+bi}{c+di}}$的形式，再將分子與分母都同時乘以(c-di)，即可利用平方差公式化簡分母。這種做法非常類似對分式進行分母有理化的技巧。

相關例題10： 已知i是虛數單位，計算或化簡下列各式：

(1) $(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)$；

(2) $2i(1+i)^{2}$；

(3) $(1+2i)(3-4i)(2-i)$；

(4) $i^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$；

(5) $(1+i)^{8}$；

(6) $i\cdot i^{2}\cdot i^{3}\cdot \cdots \cdot i^{100}$；

(7) ${\frac {2-i}{2+i}}$；

(8) ${\frac {1+2i}{1-2i}}$；

(9) ${\frac {i^{2}+i^{3}+i^{-1}}{1-i}}$；

(10) ${\frac {(1-4i)(1+i)+2+4i}{3+4i}}$；

(11) ${\frac {(1+i)^{3}-(1-i)^{3}}{(1+i)^{2}-(1-i)^{2}}}$；

(12) ${\frac {1+{\sqrt {3}}i}{{\sqrt {3}}-i}}$；

(13) $(i-{\frac {1}{i}})^{3}$。

相關例題11： 已知i是虛數單位，求證除法公式：$z_{1}\div (z_{2})=(a+bi)\div (c+di)={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i\quad (c+di\neq 0)$。

相關例題12： 已知i是虛數單位，複數$a+bi={\frac {(1-i)^{2}}{1+i}},a,b\in \mathbb {R}$，求a+b的值。

複數的模運算具有下列性質：

• $|z_{1}\pm z_{2}\pm \cdots \pm z_{n}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|$
• $|z_{1}\cdot z_{2}\cdot \cdots \cdot z_{n}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|\cdot \cdots \cdot |z_{n}|$
• $|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}$
• $|z^{n}|=|z|^{n}\quad (z\in \mathbb {Z} )$

相關例題13： 已知i是虛數單位，某複數與它的模的和為$5+{\sqrt {3}}i$，求這個複數。

相關例題14： 已知i是虛數單位，$a,b\in \mathbb {R} ,{\frac {a}{1-i}}+{\frac {b}{1-2i}}={\frac {5}{1-3i}}$，求a+b的值。

相關例題15： 已知i是虛數單位，$z\in \mathbb {C} ,{\frac {1+2i}{z}}=i$，求z的值。

相關例題16： 已知i是虛數單位，$z\in \mathbb {C} ,z+|z|=2+8i$，求z的值。

相關例題17： 已知i是虛數單位，|z| = 3，z + 3i是純虛數，求z的值。

相關例題18： 已知i是虛數單位，$z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} ,z_{1}z_{2}\in \mathbb {R} ,(z_{1}-2)(1+i)=1-i,|z_{2}|={\sqrt {5}}$，求$z_{2}$的值。

相關例題19： 已知i是虛數單位，複數m滿足$(1-2i)\cdot z=3+i$，求z和|z|的值。

從幾何角度看，由於複數可以用向量描述，所以：

• 復向量的長度就是複數的模。
• 復向量的加減法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
• 復向量與實數的數乘與普通向量的數乘規則相似。
• $|z_{1}-z_{2}|$表示$z_{1}$和$z_{2}$在複平面上的2個對應點之間的距離。

提示：$\mathbb {C}$和$\mathbb {R} ^{2}$都能與平面上全部的點一一對應，且其加減法都可以通過向量的加減法描述，但是$\mathbb {R} ^{2}$本身沒有直接定義乘法和除法，$\mathbb {C}$則是自帶乘除法的。

注意：在複平面上，複數與複數的乘法有不同於普通向量數乘的幾何意義。我們會在複數與三角這一節中繼續討論其乘法的幾何意義。

相關例題20： 已知i是虛數單位，求複數${\frac {5+4i}{i}}$在複平面內對應的點的坐標。

相關例題21： 已知i是虛數單位，複數z在複平面內的坐標為(3, 1)，求複數${\frac {z}{1+i}}$在複平面內的坐標。

相關例題22： 已知i是虛數單位，$m\in \mathbb {R} ,(1+mi)\cdot (1+i)$在複平面內對應的點位於實數軸上，求m的取值。

相關例題23： 已知i是虛數單位，$z\in \mathbb {C} ,a\in \mathbb {R}$，$z+2i$和${\frac {z}{z-i}}$均為實數，複數$(z+ai)^{2}$在複平面內對應的點在第一象限，求a的取值範圍。

相關例題24： 已知i是虛數單位，如果複數$z={\frac {a-2i}{2}}$在複平面內對應的點在直線$x+y=0\quad (x,y\in \mathbb {R} )$上，求|z|的值。

相關例題25： 已知i是虛數單位，複數z在複平面內對應的點在第一象限的角平分線上，求複數$m=z+{\frac {1}{z}}$在複平面內對應的點的軌跡方程。

相關例題26： 已知在複平面上，i是虛數單位，設點A、B、C對應的複數分別為i, 1, 4+2i。過A、B、C作平行四邊形ABCD，求此平行四邊形的對角線BD的長。

相關例題27： 已知i是虛數單位，$a\in \mathbb {R} ,z=(a+i)^{2}$。

(1) 若z為純虛數，求a的值。

(2) 若複數z在複平面上對應的點在第四象限，求實數a的取值範圍。

共軛複數與共軛特性

實部相同、虛部相反的2個複數叫做一對共軛複數（complex conjugates）。此時，其中一個數叫做另一個數的共軛複數或復共軛。z的共軛複數記為${\bar {z}}$。若$z=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$，則有${\bar {z}}=a-bi$。

和、差、積、商、冪這些運算的共軛也都有相似規律：

• ${\overline {z_{1}\pm z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\pm {\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\pm {\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}\quad (z_{2}\neq 0)$
• ${\overline {(z^{n})}}=({\overline {z}})^{n}$

複數共軛的用途體現在：

• 複數的除法結果化簡時，經常需要將分子和分母同時乘以分母的共軛複數。
• 在係數均為實數的代數方程中，虛數解總是成對出現的，而且它們剛好是成對的共軛複數。這一結論叫做實係數方程的虛數根成對存在定理。
• 複數及其共軛複數的四則運算和一元多項式結果存在密切聯繫。

相關例題1： 已知i是虛數單位，$z=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$，求證：

(1) $z+{\bar {z}}=0$對一切複數z成立。

(2) $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}$對一切複數z成立。

(3) 複數z為實數的充要條件是${\bar {z}}=z$。

相關例題2： 已知i是虛數單位，求${\frac {2}{1-i}}$的共軛複數。

相關例題3： 已知i是虛數單位，已知$a,b\in \mathbb {R}$，複數(3a + 2b) + 5ai與複數18 + (b - 2)i的共軛複數相等，求a的值。

相關例題4： 已知i是虛數單位，$a,b\in \mathbb {R} ,z=1+i,az+2b{\bar {z}}=(a+2z)^{2}$，求a和b的值。

相關例題5： 已知i是虛數單位，$z\in \mathbb {C} ,z-{\bar {z}}=2i,{\bar {z}}=iz$，求z的值。

相關例題6： 已知i是虛數單位，$a\in \mathbb {R} ,z=a+{\sqrt {3}}i,z\cdot {\bar {z}}=4$，求a的值。

相關例題7： 已知i是虛數單位，a、b為共軛複數，$(a+b)^{2}-3abi=4-12i$，求a和b的值。

相關例題8： 已知i是虛數單位，求實數m分別取何值時，可以使複數$z=(m^{2}+5m+6)+(m^{2}-2m-15)i$：

(1) 與2 - 12i相等；

(2) 與複數12 + 16i共軛；

(3) 在複平面上的對應點在x軸上方。

相關例題9： 已知i是虛數單位，$a,b\in \mathbb {R} ,z=1+i$。

(1) 若$m=z^{2}+3{\bar {z}}-4$，求|m|的值。

(2) 若${\frac {z^{2}+az+b}{z^{2}-z+1}}=1-i$，求a和b的值。

相關例題10： 已知i是虛數單位，設$z=1+i+i^{2}+i^{3}+\cdots +i^{2018}+{\frac {|3-4i|}{3-4i}}$，求z的共軛複數${\bar {z}}$的虛部。

相關例題11： 已知i是虛數單位，求證$a=(1+2i)(3-4i)(5+6i)(7-8i)(9+10i)$與$b=(1-2i)(3+4i)(5-6i)(7+8i)(9-10i)$是共軛複數。

相關例題12： 已知i是虛數單位，設$f(z)$是一個復變量的一元多項式，求證：$f({\bar {z}})={\overline {f|z|}}$。

常用結論與常見模型

二次方程的求解

到目前為止，在複數範圍內，二次方程可以使用配方法和求根公式法求解。也可以使用待定係數法，將復變量方程轉化為2個實變量方程求解。

複數數列問題

複數與中學數學相關的例子是複數數列。複數組成的數列也有等差和等比的概念，等差和等比數列的相關求和公式也適用於複數數列。有些含複數的分式也可以通過裂項法變形，只是會繁瑣一些。

相關例題： 已知i是虛數單位，複數數列$\{a_{n}\}$的通項公式為$a_{n}=(1+i)^{n}$，求此複數數列的前n項和的表達式。
（答案：$S_{n}=(1-i)(-1+(1+i)^{n})$。）

另一個有趣的例子是當常係數差分方程出現複數根時，與其相關的特徵方程法仍然成立，且當特徵根為純虛數時，能推斷出答案為周期數列。不過這種差分方程的求解細節我們不會在這一節細講，只是稍微提一下解出來的通項公式中出現複數時，可能出現什麼不一般的情況。有的讀者可能已經學到了有些整數數列的通項公式中存在無理數作為係數。同理，也可以構造出通項公式包含復係數的整數數列。例如數列$\{(1+i)^{n}+(1-i)^{n}\}\quad (n\in \mathbb {N} ^{+})$就是一個係數包含複數，但是取值都是整數的數列。利用計算機軟件容易粗略驗證其前10項的值為：
2, 0, -4, -8, -8, 0, 16, 32, 32, 0
我們會在緊接着的下一節利用棣莫弗公式證明它的每一項確實都是整數。

代數基本定理與複數域內的因式分解

作為簡單但是有用的知識拓展，我們不加證明地空降如下的定理：

代數基本定理（fundamental theorem of algebra）：任何一個一元復係數方程式都至少有一個複數根。

提示：代數基本定理的證明方法都需要較多抽象代數或複分析的預備知識，而且涉及到複變函數與複平面區域變化的（所謂拓撲學的）分析，沒辦法在這裡鋪開講。

代數基本定理表明：

• 多於1次的一元多項式總可以在複數範圍內分解因式。
• 複數域是代數封閉的。換句話說，任何只含四則運算、指數、根式的代數方程在複數範圍都內可解，不會再遇到需要考慮更大範圍才能求解的情況。

提示：「複數域」一詞源於群論，其實就是複數集與複數四則運算規律的合稱。

「

「……每個代數方程都可以求解了！這是一項極好的事情，我們可以把它（細節）留給數學系去證明。它的證明美妙又有趣，但是肯定也並不顯然。實際上，最可能的猜測是我們仍然需要一再地發明新的東西。但是這一切最神奇的地方就在於不再需要這麼做了。這就是最後一次發明。在發明複數之後，我們發現複數運算法則會一直管用，我們到此結束了發明新事物之路。我們能找出任何複數的復指數，我們能求解任何代數形式的方程，只要是包含那一堆符號的有限個項都行。我們（求解那些代數方程時）沒有理由再會發現新的數了。比如說，i的平方根，（在複數範圍內）也有確定的結果，並不會帶來新事物；$i^{i}$也是。」 ——理查德·費曼《費曼物理學講義·卷一》第22章「代數」

」

相關例題1： 仿照實數域內的二次方程情形，求證：一元多項式的韋達定理在複數域內仍然成立。

相關例題2： 求二次方程$x^{2}-8x+25=0$的2個根之積。

相關例題3： 在複數範圍內對下列各式進行因式分解：

(1) $x^{2}-2x-1$；

(2) $x^{2}+2x-1$。

有時候，結合實係數方程的虛數根成對存在定理，可以迅速判斷方程的某些複數解的共軛複數也一定是方程的解。

相關例題4： 已知i是虛數單位，一元三次方程$x^{3}+bx^{2}+cx+d=0$的其中2個根為3和3-2i，求它的全部三個根之和。

相關例題5： 已知i是虛數單位，設一元二次函數$f(x)=ax^{2}+bx+c$。已知f(x) = 0的其中1個根為3-2i，求f(x)的對稱軸方程。

相關例題6： 已知i是虛數單位，在複數範圍內求方程$x^{2}=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )$中x的一個解。

實數範圍內的眾多數學結論可以不加修改地直接推廣到複數範圍內（表述形式上幾乎不需要改動，但是正確性需要證明），例如韋達定理、數列求和方法。有的時候還會得到更好的結果，例如某些通項公式中帶有複數的實數數列、因式分解問題。這些都有通過前面或剛才介紹的代數基本定理和幾個例題得到體現。複數帶來的便利遠不止如此，我們之後會繼續學習複數與三角學的聯繫，我們到那一節再繼續討論複數的價值。

相關例題7： 高斯在研究數論中的二次互反律時，提出了高斯整數的概念。高斯整數是指形如$a+bi\quad (a,b\in \mathbb {Z} )$的複數，可以將一些在整數範圍內不能分解因數的質數表示為2個高斯整數的乘積。在複數範圍內對下列數字進行質因數分解：

(1) 2；

(2) 5；

(3) 7；

(4) 13。

複數運算的注意事項

實數的分數次冪運算法則$a^{\frac {m}{n}}=(a^{\frac {1}{n}})^{m}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}$在複數範圍內失效。例如假定此規律成立，則會推出以下矛盾：
$i={\sqrt {-1}}=(-1)^{\frac {1}{2}}=(-1)^{2\cdot {\frac {1}{4}}}=((-1)^{2})^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1\quad \Rightarrow \quad i=1$
或$i={\sqrt[{4}]{i^{4}}}={\sqrt[{4}]{(i^{2})^{2}}}={\sqrt[{4}]{1}}=1\quad \Rightarrow \quad i=1$

更準確地說，不是這種逆運算關係失效了，而是當指數為分數時，複數域上的冪函數是多值的，籠統地當作單值函數套用實數的指數運算律會導致不同解析分支中的取值出現混亂。當然，標記不同取值的解析分支超出了中學數學的教學範圍。

注意：複數的運算和實數的運算並不一樣，不能假定實數的運算規律都能照搬到複數中去。沒有嚴格證明的結論不能隨意使用。

知識背景：一個比較極端的常見例子是複對數。如果不限制取值範圍，它可以是無窮多值的。即對於自變量的一個取值，會有無窮個結果值與之對應。

回憶在學習實數時，我們將根號運算的結果定義為一個非負數的算術平方根。我們沒有正式定義根號下出現負數或虛數是表示什麼意思，因此$i={\sqrt {-1}}$這類式子是意義不明的，不能先入為主地認為它一定成立。我們可以補充規定$i={\sqrt {-1}}$，但是在運算時仍要非常小心地使用它，以免出錯。

包括$x^{2}\geq 0$和${\sqrt {a^{2}}}=|a|$在內的許多常見結論對於複數失效或失去意義。一切必須基於它們才能論證的恆等式、不等式都不能直接應用於複數。

思考：如下的三角不等式是否對於複數也成立？（將不等式中的絕對值當作模。）

$||z_{1}|-|z_{2}||\leq |z_{1}\pm z_{2}|\leq ||z_{1}|+|z_{2}||$

思考：對於任意的3個複數a、b、c，如果|a| < |b|, |b| < |c|，是否一定也有|a+b| < |2c|？

另一個需要小心的是實部與虛部的識別。將一個複數z記為a+bi的形式時，如果不能確定a和b都是實數，則不能判斷a和b分別對應z的實部和虛部，進而很多與實部、虛部直接聯繫的公式不能直接套用。

相關例題： 已知i是虛數單位，分別判斷下列各個說法是否正確：

(1) 形如a + bi的都是虛數。

(2) 形如z = a + bi的共軛複數一定是a - bi。

(3) $\forall a,b\in \mathbb {C}$，一定有|a + bi| = |b + ai|成立。

(4) 如果z = a + bi, a = 1, b = 2i，那麼$|z|={\sqrt {|a|^{2}+|b|^{2}}}={\sqrt {|1|^{2}+|2i|^{2}}}={\sqrt {5}}$。

(5) 如果$z_{1}=a+bi,z_{2}=c+di$，a、b、c、d是4個互不相等的虛數，則$z_{1}\neq z_{2}$。

思考：為什麼複數定義了除法，而實向量沒有除法？

求複數z在複平面上表示的圖形

我們列舉一些常見的複平面上的圖形方程（對於橢圓和雙曲線的描述需要讀者了解平面解析幾何相關章節的基礎知識）：

• 滿足$|z-z_{1}|=|z-z_{2}|\quad (z_{1}\neq z_{2})$的複數z對應的點的軌跡是線段$z_{1}z_{2}$的垂直平分線。
• 滿足$|z-z_{1}|=r\quad (r>0)$的複數z對應的點的軌跡是以$z_{1}$為圓心，r為半徑的圓。
• 滿足$|z-z_{1}|+|z-z_{2}|=2a\quad (0<|z_{1}z_{2}|<2a)$的複數z對應的點的軌跡是以點$z_{1},z_{2}$為焦點，長軸長度為2a的橢圓。
• 滿足$|z-z_{1}|-|z-z_{2}|=2a\quad (0<2a<|z_{1}z_{2}|)$的複數z對應的點的軌跡是以點$z_{1},z_{2}$為焦點，實軸長度為2a的雙曲線。

除兩點間的距離公式外，定比分點公式、點到直線的距離公式、三角形面積公式也都有涉及複數的版本。

補充習題

求證：在複平面上，可以將平行四邊形恆等式寫為複數的形式$2(|z|^{2}+|w|^{2})=|z+w|^{2}+|z-w|^{2}$。

外部連結

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代數基本定理