高中数学/平面解析几何/直线方程补充知识

维基教科书,自由的教学读本
跳到导航 跳到搜索

阅读指南[编辑]

Crystal Clear app gnome 希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

预备知识[编辑]

阅读本节,需要先了解初中几何常识中有关平行、垂直、夹角、线段的垂直平分线、角平分线等知识,并学习有关任意角的三角比的知识。

考试要求[编辑]

基础知识[编辑]

知识引入[编辑]

倾斜角与斜率的一般规定[编辑]

我们先对直线的倾斜角作如下正式的约定:

对于平面坐标系中的一条直线,从其上的任意一点A作一条水平线(此时A肯定是的交点),将绕着点A按逆时针方向旋转至与原直线重合时的最小正角叫做原直线倾斜角angle inclination)。

由上述定义,可立即推知:

  • 当原直线本身就是水平直线时,其倾斜角为0。
  • 直线倾斜角的取值范围是

根据任意角的三角比的规定,还可以知道当直线y = kx + b的朝向不沿着竖直方向时,它在直角坐标系中的倾斜角的正切值就是一次项系数k。即对于通过2个不同点的非竖直直线(设倾斜角),有:

由于一次函数的一次项系数k刻划出了此时直线的倾斜程度,就正式定义为直线的斜率slope)。[1]

而对于竖直的直线(垂直于x轴),我们就说它的斜率不存在。

通过计算和比较斜率,可以论证失踪的正方形问题。[2]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知一条直线过点A (-2, -1)和点B (6, -5),求此直线的斜率和倾斜角。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知一条直线经过两点,求此直线倾斜角的取值范围。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 分别求下列直线的倾斜角和斜率:

(1) 已知一条直线过两点,求此直线的倾斜角和斜率。
(2) 已知一条直线过两点,且,求此直线的倾斜角。

直线方程的多种形式[编辑]

直线方程有多种形式,我们在预备知识中也有列举,其中有一部分已经在初中阶段使用过。为了知识便于查阅,我们将直线方程的常见形式集中列于此处[3]

  • 直线的点斜式方程:,其中k是斜率,且该直线过定点
  • 直线的斜截式方程:y = kx + b,其中k是斜率,b是直线在y轴上的截距;
  • 直线的两点式方程:,这样的直线过两定点
  • 直线的截距式方程:,这样的直线过定点
  • 直线的一般式方程:Ax + By + C = 0,A和B不可以同时为0。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知不论m取什么实数,直线(2m-1)x + (m+3)y - (m-11) = 0都经过一个固定的点。求这个定点的坐标。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 求证下列过两点的插值公式与直线的两点式是等价的:

参考证明:
我们从插值公式开始作等价变形。
因为要出现这样的项,不妨在上式的等式两端同时减去

证明完毕。

直线与直线的位置关系判定[编辑]

两直线如果相交,则其交点必定同时满足两直线的方程。联立2个直线方程,如果有一组解,则直线说明相交。这个知识点我们已经在初中学习过,本节不再赘述。

我们先关心直线平行和垂直的情况,因为马上就会发现,在这两种情形下会有比较特殊的结论。然后我们会过渡到讨论更一般的夹角公式。

平行与垂直[编辑]

考虑斜率存在且不为零的2条平行直线。 首先易知它们一定都会与x轴相交。再由初中几何中“两直线平行,同位角相等”的原理可知,它们与x轴正方向所成的倾斜角肯定是一样大的。进而有:

也即它们的斜率对应相等:
特别地,当还有时,两直线是平行且不重合的。
另外,当两直线斜率都为零时,也有类似结论。[4]

当直线不垂直于x轴时,可以设其斜截式方程为。再从其上任取2个点,则向量的方向与直线共线。我们想办法简化这个向量,让它与选取的点无关,而只包含直线的关键参数。首先,将向量乘除一个非零的常系数,其方向不会改变。其次,注意到这是一个齐次表达式,我们可以设法利用同为齐次式的斜率关系式化简刚才的向量表达式。即[4]

这也说明直线的走向只与其斜率有关。这是符合我们直觉的。

类似地,设另有一条直线与垂直且同样具有斜率的直线,那么可以设的斜截式方程为。再由上述类似的讨论可知的方向向量为

由向量垂直关系的数量积公式可得[4]

Crystal Project Warehause 向量(1, k)一定与直线平行,或者说是该直线的1个方向向量

对于2个斜率存在的直线,它们相互平行的充要条件是斜率一致:

相互垂直的充要条件是斜率之积为-1:

如果写成一般方程,则的平行条件是:

(如果还有,则两直线不但平行,而且完全重合。)

垂直条件是:

到角公式与旋转问题[编辑]

我们先给出有关直线之间“到角”的概念:

设有两条直线相交于一点A,我们定义直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的最小角度,叫做(从)的角[4]

设两条相交的直线的倾斜角分别为,斜率分别为,从的角记为。易由两直线到角的定义画图分析得到:

无论是上述哪种情况,都能得到:

我们利用直线方程中更常见的斜率参数来替换倾斜角:

由于当两直线平行(只要斜率存在)时,上式仍然成立。这样,我们得到了直线的到角公式[4]

Crystal Project Warehause 设两直线的斜率分别为,则从的到角计算公式为:

由于到角是有方向、可以叠加的,可以解决涉及直线的旋转与对称问题。

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知一条直线L过坐标原点,且其倾斜角比直线的倾斜角大。求直线L的方程。

两直线相交,会形成2对对顶角,其中较小的角就是两直线的夹角。由到角和夹角的几何关系不难得到两直线的夹角要么就是到角,要么就是倒角的补角[4]。即:

Crystal Project Warehause 设两直线的斜率分别为,从的到角为。则它们所构成的夹角的计算公式为[4]

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知直线L经过2条直线的交点,且与所成的夹角大小为。求直线L的方程。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 设2条相交直线所构成的夹角为A,求A的角平分线所在的直线方程。

点到直线的距离与平行直线的距离[编辑]

点到直线的距离有2种推导方法[4]

  • 过给定点作已知直线的垂线,求出垂线的长即为距离。
  • 利用等面积法。

无论采用哪种方法,都可以得到下列公式:

Crystal Project Warehause (平面上点到直线的距离公式) 平面上定点到直线Ax + By + C = 0的距离d为[4]

另一种常见问题是求平行直线之间的距离。这种问题可以转化为求其中一条直线上的一点到另一条直线的距离,即线与线的距离问题转化为点与线的距离问题[4]

按照这个思路,我们可以推知一般性的平行线距离公式:

Crystal Project Warehause (平面上两平行线之间的距离公式)设平面上两条平行线的方程分别是,则其间距计算的一般公式为:

Crystal Clear action edit 相关例题: 确定直线与直线的间距。

常用结论与常见模型[编辑]

三角形面积公式[编辑]

我们求平面上不共线的3点构成的三角形的面积表达式。

我们取线段为底边,利用原始公式“底乘以高,再除以二”来求出三角形的面积。

首先,由勾股定理可知所取三角形底边的长

其次,我们来作垂线求出高。已知过两点的直线L的方程为(先采用两点式方程,然后逐渐转化成一般式方程,以便于在下一步套用距离公式):

再由点到直线的距离公式可知到L的距离h为:

有了底和高h,则易知三角形的面积A为:

Crystal Clear action info 提示:后面会学到,这个公式还可以使用二阶行列式的记法加以化简。

对称问题[编辑]

有关直线的对称问题主要包括下列几类:

  • 点关于直线对称或直线关于点对称。本小节会补充相关结论。
  • 直线的简单旋转。这可以由有关到角的计算解决。
  • 一条直线关于另一条直线的对称直线,或翻转、对折后的直线。本质上还是可以转化为将直线绕交点朝正方向或反方向旋转合适角度的问题。
  • 光线的反射、折射问题。可以当作围绕交点的旋转或翻折类问题处理。
  • 直线沿向量的平移。这里将平移视作广义的对称操作。可以将直线方程视为函数,然后利用函数图象平移的规律解决。

之前,我们已经学习了下列有关对称点的知识[5]

  • 点(a, b)关于点(m, n)的对称坐标为(2m - a, 2n - b)。
  • 点(a, b)关于x轴、y轴、原点、直线y = x、直线y = -x的对称点分别为(a, -b), (-a, b), (-a, -b), (b, a), (-b, -a)。

关于点与更一般的直线的镜像对称问题,我们可以得到下列结论:

Crystal Project Warehause 给定直线L : Ax + By + C = 0,则直线L外一点关于此直线的对称点的坐标点为[5]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 求与直线2x + 3y - 6 = 0关于点(1, -1)对称的直线方程。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 一束光线从点A (-3, 4)朝右下方出发,在x轴上的C点发生后,又在y轴上的D点发生反射,最后经过点B (-2, 6)。求中间经过的直线段CD所在的直线方程。

结合几何特征确定未知的点或直线[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 在直线L : x + y - 5 = 0上找一点P (x, y),使得点P对A (1, 0), B (3, 0)的视角最大。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知A (0, 3), B (-1, 0), C (3, 0)。求D点的坐标,使得四边形ABCD为等腰梯形。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 直线L过点M (2, 1),且分别交x轴、y轴于点A、B。点O是坐标原点。

(1) 求当面积最小时直线L的方程。
(2) 当|MA||MB|最小时,求直线L的方程。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 设定点A (3, 1),然后在直线y = x和y = 0上分别求点M和N,使得的周长最短,并求出最短周长的值。

直线系方程[编辑]

符合特定条件的一组直线构成一个直线系pencil of lines[5]

Crystal Clear app games 玩笑:翻译英文数学资料(尤其是使用机器翻译)时,不要把几何学中的术语“系列”(pencil)翻译成“铅笔”(pencil),否则很容易闹笑话。

常见的直线系方程equations for a pencil of lines)包括[5]

  • 过定点的直线系方程:(这个直线系方程中并未包括直线。)
  • 和直线A x + B y + C = 0平行(且不重合)的直线系方程:
  • 和直线A x + B y + C = 0垂直的直线系方程:B x + A y + C = 0
  • 经过两条相交直线的交点的直线系方程:

(这个直线系方程中并未包括直线。)

点向式、点法式和参数方程[编辑]

当斜率存在且不为零时,直线的点斜式方程很容易改写为点向式方程
点向式方程的一般形式为:
从点向式方程可以轻松看出向量是直线的1个方向向量。反之,如果已知直线通过的点与方向向量,也容易写出此点向式方程[6]

对于一般形式的直线Ax + By = C,如果A、B都不为零,也容易得到点向式方程为。其中的待定系数可通过对比系数的方法求出。

如果再设,则由点向式方程可得:
上式中的x与y可视为分别由参变量t的取值而定,因此叫做以t为参变量的参数方程parametric equation(s))。[7]

我们可以给直线的参数方程一个几何含义更清晰的解释。设直线L经过点是它的一个方向向量。再设P (x, y)是直线L上的任意一点,则由向量,可知存在唯一的实数t,使得[7]

Crystal Project Warehause 过点,且与共线的直线的参数方程为:

如果联立这2个方程,消去其中的参变量t,就可以得到普通的只含x与y的直角坐标方程。[7]

Crystal Clear action info 提示:直线的点向式方程和参数方程的重要性还在于它可以推广到三维的情形。例如后面会学到,三维空间中的直线方程都可以写作如下的参数方程形式:

类似地,也可以定义垂直于直线所在方向的向量为直线的法向量。通过将直线甲的法向量与直线乙的方向向量作内积运算,也可以快速判断二者是否是垂直关系。[7]

叫做直线的点法式方程[7]。从点法式能直接得出其法向量为(A, B)。

Crystal Project Warehause 平面直线与向量有关的2种形式如下:

  • 点向式(易于得到方向向量):
  • 点法式(易于得到法向量):

利用向量的夹角计算公式,还可以得到直线的如下夹角计算公式:

Crystal Project Warehause 直线与直线的夹角的余弦为[7]

割线迭代法[编辑]

割线迭代法是一种结合函数特征并基于数列迭代思想的函数零点求法。后面会学到,割线法的改进版本为牛顿切线迭代法

与其它板块知识点或特殊规律结合的问题[编辑]

Crystal Clear action edit 相关例题1: 已知a, b, c > 0,且直线互相垂直。求的取值范围。

Crystal Clear action edit 相关例题2: 已知O为坐标原点,的边AB在直线L : x = 3上移动。

(1) 设的外心为,且设坐标,用分别表示的值。
(2) 若,求外心P的轨迹方程。

Crystal Clear action edit 相关例题3: 已知4条直线围成一个四边形。求出使此四边形具有外接圆的k值。

Crystal Clear action edit 相关例题4: 当a, b为有理数时,称点P (a, b)为有理点。又设,则直线AB上(    )。

A.不存在有理点;B.仅有1个有理点;C.仅有2个有理点;D.有无穷多个有理点

补充习题[编辑]

Crystal Clear app ksirtet Crystal Clear app laptop battery

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”第7.1小节“倾斜角和斜率”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 34–37. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中国大陆)). 
  2. 王申怀 (本册主编); 马波; 张鹤; 王敬庚; 陶维林; 张劲松 (编者+责任编辑). 第3章“直线与方程”中的“探究与发现”部分. (编) 刘绍学 (主编); 钱佩玲 (副主编); 章建跃 (副主编). 高中数学 (A版). 普通高中课程标准实验教科书 必修2 1. 中国北京市沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 95–96. ISBN 7-107-17706-0 (中文(中国大陆)). 
  3. 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”第7.2小节“直线的方程”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 38–43. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中国大陆)). 
  4. 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”第7.3小节“两条直线的位置关系”. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 45–53. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中国大陆)). 
  5. 5.0 5.1 5.2 5.3 黄仁寿; 欧阳新龙; 吴有根; 吴江春. 专题3“两直线的位置关系与距离公式”. (编) 徐红瑾 (项目编辑); 陈信漪 (文字编辑). 解析几何. 新专题教程 高中数学3. 朱杰人 (出版人) 4. 中国上海市中山北路3663号: 华东师范大学出版社. 2004: 22–23. ISBN 978-7-5617-3764-4 (中文(中国大陆)). 
  6. 刘初喜; 施洪亮; 蔡东山. 第14章“坐标平面上的直线”第14.2节“直线的倾斜角和斜率”. 华东师范大学第二附属中学(实验班用)·数学 高中下册 2. 中国上海市永福路123号: 上海教育出版社. 2015: 84–88. ISBN 978-7-5444-6432-1 (中文(中国大陆)). 
  7. 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 人民教育出版社中学数学室. 第7章“直线和圆的方程”中的“阅读材料:向量与直线”部分. 数学. 全日制普通高级中学教科书 (必修) 第2册(上) 1. 中国北京沙滩后街55号: 人民教育出版社. 2004: 55–56. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中国大陆)). 

外部链接[编辑]

Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目:
Wikipedia-logo.png
维基百科中的相关条目: