# 高中數學/平面解析幾何/直線方程補充知識

## 基礎知識

### 傾斜角與斜率的一般規定

• 當原直線本身就是水平直線時，其傾斜角為0。
• 直線傾斜角的取值範圍是${\displaystyle [0,\pi )}$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}=k\quad (\alpha \neq {\frac {\pi }{2}})}$

(1) 已知一條直線過${\displaystyle A(1,2),B(a,3)\quad (a\in \mathbb {R} )}$兩點，求此直線的傾斜角和斜率。
(2) 已知一條直線過${\displaystyle O(0,0),H(\cos \theta ,\sin \theta )}$兩點，且${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <0}$，求此直線的傾斜角。

### 直線方程的多種形式

• 直線的點斜式方程：${\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})}$，其中k是斜率，且該直線過定點${\displaystyle P(x_{1},y_{1})}$
• 直線的斜截式方程：y = kx + b，其中k是斜率，b是直線在y軸上的截距；
• 直線的兩點式方程：${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}}$，這樣的直線過兩定點${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})}$
• 直線的截距式方程：${\displaystyle {\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}=1}$，這樣的直線過定點${\displaystyle A(a,0),B(0,b),a,b\neq 0}$
• 直線的一般式方程：Ax + By + C = 0，A和B不可以同時為0。

${\displaystyle y=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}y-y_{1}=y_{1}(\cdot {\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}-1)+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{2}-(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\=y_{1}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}-y_{2}\cdot {\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}\\={\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}(y_{1}-y_{2})\\\Leftrightarrow y-y_{1}={\frac {x-x_{1}}{x_{1}-x_{2}}}(y_{1}-y_{2})\Leftrightarrow {\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\end{array}}}$

### 直線與直線的位置關係判定

#### 平行與垂直

${\displaystyle \tan \alpha _{1}=\tan \alpha _{2}}$

${\displaystyle L_{1}\parallel (x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\parallel {\frac {(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=(1,{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}})=(1,k_{2})}$

${\displaystyle L_{1}\perp L_{2}=(1,k_{1})\cdot (1,k_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad 1^{2}+k_{1}k_{2}=0\quad \Leftrightarrow \quad k_{1}k_{2}=-1}$

${\displaystyle L_{1}\parallel L_{2}\quad \Leftrightarrow \quad k_{1}=k_{2}}$

${\displaystyle L_{1}\perp L_{2}\quad \Leftrightarrow \quad k_{1}k_{2}=-1}$

${\displaystyle A_{1}:B_{1}=A_{2}:B_{2}}$（如果還有${\displaystyle C_{1}=C_{2}}$，則兩直線不但平行，而且完全重合。）

${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}$

#### 到角公式與旋轉問題

${\displaystyle \theta =\alpha _{2}-\alpha _{1}\quad (\alpha _{1}<\alpha _{2})}$${\displaystyle \theta =\pi +(\alpha _{2}-\alpha _{1})\quad (\alpha _{1}>\alpha _{2})}$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})}$

${\displaystyle \tan \theta =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})={\frac {\tan \alpha _{2}-\tan \alpha _{1}}{1+\tan \alpha _{2}\tan \alpha _{1}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}k_{1}}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}k_{1}}}}$

${\displaystyle \tan \beta =|\tan \theta |=|{\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{2}k_{1}}}|}$

### 點到直線的距離與平行直線的距離

• 過給定點作已知直線的垂線，求出垂線的長即為距離。
• 利用等面積法。

（平面上點到直線的距離公式） 平面上定點${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$到直線Ax + By + C = 0的距離d為[4]

${\displaystyle d={\frac {Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

（平面上兩平行線之間的距離公式）設平面上兩條平行線的方程分別是${\displaystyle Ax+By+C_{1}=0}$${\displaystyle Ax+By+C_{2}=0}$，則其間距計算的一般公式為：

${\displaystyle d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$

## 常用結論與常見模型

### 三角形面積公式

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\Leftrightarrow (y-y_{1})(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})(x-x_{1})\\\Leftrightarrow y(x_{1}-x_{2})-y_{1}(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})x-(y_{1}-y_{2})x_{1}\\\Leftrightarrow (y_{1}-y_{2})x-(x_{1}-x_{2})y+(y_{2}-y_{1})x_{1}+y_{1}(x_{1}-x_{2})=0\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}h={\frac {(y_{1}-y_{2})x_{3}-(x_{1}-x_{2})y_{3}+(y_{2}-y_{1})x_{1}+y_{1}(x_{1}-x_{2})}{\sqrt {(y_{1}-y_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}}}}\\={\frac {x_{3}(y_{1}-y_{2})+(x_{2}-x_{1})y_{3}+x_{1}(y_{2}-y_{1})+(x_{1}-x_{2})y_{1}}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {x_{3}y_{1}-x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3}-x_{1}y_{3}+x_{1}y_{2}-x_{1}y_{1}+x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+(x_{1}y_{1}-x_{1}y_{1})}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})+0}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\\={\frac {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}A={\frac {1}{2}}\cdot |P_{1}P_{2}|\cdot h\\={\frac {1}{2}}\cdot ({\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}})\cdot ({\frac {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{\sqrt {(y_{1}-y_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}}}})\\={\frac {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1})+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}{2}}\end{array}}}$

### 對稱問題

• 點關於直線對稱或直線關於點對稱。本小節會補充相關結論。
• 直線的簡單旋轉。這可以由有關到角的計算解決。
• 一條直線關於另一條直線的對稱直線，或翻轉、對摺後的直線。本質上還是可以轉化為將直線繞交點朝正方向或反方向旋轉合適角度的問題。
• 光線的反射、折射問題。可以當作圍繞交點的旋轉或翻折類問題處理。
• 直線沿向量的平移。這裡將平移視作廣義的對稱操作。可以將直線方程視為函數，然後利用函數圖象平移的規律解決。

• 點(a, b)關於點(m, n)的對稱坐標為(2m - a, 2n - b)。
• 點(a, b)關於x軸、y軸、原點、直線y = x、直線y = -x的對稱點分別為(a, -b), (-a, b), (-a, -b), (b, a), (-b, -a)。

${\displaystyle (x_{0}-{\frac {2A(Ax_{0}+By_{0}+C)}{A^{2}+B^{2}}},y_{0}-{\frac {2B(Ax_{0}+By_{0}+C)}{A^{2}+B^{2}}})}$

### 結合幾何特徵確定未知的點或直線

(1) 求當${\displaystyle \triangle ABO}$面積最小時直線L的方程。
(2) 當|MA||MB|最小時，求直線L的方程。

### 直線系方程

• 過定點的直線系方程：${\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})}$（這個直線系方程中並未包括直線${\displaystyle x=x_{0}}$。）
• 和直線A x + B y + C = 0平行（且不重合）的直線系方程：${\displaystyle Ax+By+C_{0}=0\quad (C_{0}\neq C)}$
• 和直線A x + B y + C = 0垂直的直線系方程：B x + A y + C = 0
• 經過兩條相交直線${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$的交點的直線系方程：

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2})=0}$ （這個直線系方程中並未包括直線${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$。）

### 點向式、點法式和參數方程

${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P}}=t{\vec {v}}\quad \Rightarrow \quad (x-x_{0},y-y_{0})=t(a,b)\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\\z=z_{0}+ct\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0}$叫做直線的點法式方程[7]。從點法式能直接得出其法向量為(A, B)。

• 點向式（易於得到方向向量${\displaystyle {\vec {n}}_{\parallel }=(a,b)}$）：${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{a}}+{\frac {y-y_{0}}{b}}=0}$
• 點法式（易於得到法向量${\displaystyle {\vec {n}}_{\perp }=(A,B)}$）：${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {|A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}|}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}}}$

### 與其它板塊知識點或特殊規律結合的問題

(1) 設${\displaystyle \triangle ABC}$的外心為${\displaystyle P(x_{p},y_{p})}$，且設坐標${\displaystyle A(3,t_{1}),B(3,t_{2})}$，用${\displaystyle x_{p}}$分別表示${\displaystyle t_{1},t_{2}}$的值。
(2) 若${\displaystyle \angle AOB={\frac {\pi }{3}}}$，求${\displaystyle \triangle ABC}$外心P的軌跡方程。

A.不存在有理點；B.僅有1個有理點；C.僅有2個有理點；D.有無窮多個有理點

## 參考資料

1. 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」第7.1小節「傾斜角和斜率」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 34–37. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中國大陸））.
2. 王申懷 (本冊主編); 馬波; 張鶴; 王敬庚; 陶維林; 張勁松 (編者+責任編輯). 第3章「直線與方程」中的「探究與發現」部分. (編) 劉紹學 (主編); 錢珮玲 (副主編); 章建躍 (副主編). 高中數學 (A版). 普通高中課程標準實驗教科書 必修2 1. 中國北京市沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 95–96. ISBN 7-107-17706-0 （中文（中國大陸））.
3. 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」第7.2小節「直線的方程」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 38–43. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中國大陸））.
4. 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」第7.3小節「兩條直線的位置關係」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 45–53. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中國大陸））.
5. 黃仁壽; 歐陽新龍; 吳有根; 吳江春. 專題3「兩直線的位置關係與距離公式」. (編) 徐紅瑾 (項目編輯); 陳信漪 (文字編輯). 解析幾何. 新專題教程 高中數學3. 朱傑人 (出版人) 4. 中國上海市中山北路3663號: 華東師範大學出版社. 2004: 22–23. ISBN 978-7-5617-3764-4 （中文（中國大陸））.
6. 劉初喜; 施洪亮; 蔡東山. 第14章「坐標平面上的直線」第14.2節「直線的傾斜角和斜率」. 華東師範大學第二附屬中學(實驗班用)·數學 高中下冊 2. 中國上海市永福路123號: 上海教育出版社. 2015: 84–88. ISBN 978-7-5444-6432-1 （中文（中國大陸））.
7. 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」中的「閱讀材料：向量與直線」部分. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 55–56. ISBN 7-107-17450-9 （中文（中國大陸））.