高中數學/平面解析幾何/直線方程補充知識

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閱讀指南[編輯]

Crystal Clear app gnome 希望快速了解或快速回顧高中數學的讀者可以只看基礎知識部分。其餘部分是為需要參加學科考試或需要一定知識提升的讀者準備的。

預備知識[編輯]

閱讀本節,需要先了解初中幾何常識中有關平行、垂直、夾角、線段的垂直平分線、角平分線等知識,並學習有關任意角的三角比的知識。

考試要求[編輯]

基礎知識[編輯]

知識引入[編輯]

傾斜角與斜率的一般規定[編輯]

我們先對直線的傾斜角作如下正式的約定:

對於平面坐標系中的一條直線,從其上的任意一點A作一條水平線(此時A肯定是的交點),將繞着點A按逆時針方向旋轉至與原直線重合時的最小正角叫做原直線傾斜角angle inclination)。

由上述定義,可立即推知:

  • 當原直線本身就是水平直線時,其傾斜角為0。
  • 直線傾斜角的取值範圍是

根據任意角的三角比的規定,還可以知道當直線y = kx + b的朝向不沿着豎直方向時,它在直角坐標系中的傾斜角的正切值就是一次項係數k。即對於通過2個不同點的非豎直直線(設傾斜角),有:

由於一次函數的一次項係數k刻劃出了此時直線的傾斜程度,就正式定義為直線的斜率slope)。[1]

而對於豎直的直線(垂直於x軸),我們就說它的斜率不存在。

通過計算和比較斜率,可以論證失蹤的正方形問題。[2]

Crystal Clear action edit 相關例題1: 已知一條直線過點A (-2, -1)和點B (6, -5),求此直線的斜率和傾斜角。

Crystal Clear action edit 相關例題2: 已知一條直線經過兩點,求此直線傾斜角的取值範圍。

Crystal Clear action edit 相關例題3: 分別求下列直線的傾斜角和斜率:

(1) 已知一條直線過兩點,求此直線的傾斜角和斜率。
(2) 已知一條直線過兩點,且,求此直線的傾斜角。

直線方程的多種形式[編輯]

直線方程有多種形式,我們在預備知識中也有列舉,其中有一部分已經在初中階段使用過。為了知識便於查閱,我們將直線方程的常見形式集中列於此處[3]

  • 直線的點斜式方程:,其中k是斜率,且該直線過定點
  • 直線的斜截式方程:y = kx + b,其中k是斜率,b是直線在y軸上的截距;
  • 直線的兩點式方程:,這樣的直線過兩定點
  • 直線的截距式方程:,這樣的直線過定點
  • 直線的一般式方程:Ax + By + C = 0,A和B不可以同時為0。

Crystal Clear action edit 相關例題1: 已知不論m取什麼實數,直線(2m-1)x + (m+3)y - (m-11) = 0都經過一個固定的點。求這個定點的坐標。

Crystal Clear action edit 相關例題2: 求證下列過兩點的插值公式與直線的兩點式是等價的:

參考證明:
我們從插值公式開始作等價變形。
因為要出現這樣的項,不妨在上式的等式兩端同時減去

證明完畢。

直線與直線的位置關係判定[編輯]

兩直線如果相交,則其交點必定同時滿足兩直線的方程。聯立2個直線方程,如果有一組解,則直線說明相交。這個知識點我們已經在初中學習過,本節不再贅述。

我們先關心直線平行和垂直的情況,因為馬上就會發現,在這兩種情形下會有比較特殊的結論。然後我們會過渡到討論更一般的夾角公式。

平行與垂直[編輯]

考慮斜率存在且不為零的2條平行直線。 首先易知它們一定都會與x軸相交。再由初中幾何中「兩直線平行,同位角相等」的原理可知,它們與x軸正方向所成的傾斜角肯定是一樣大的。進而有:

也即它們的斜率對應相等:
特別地,當還有時,兩直線是平行且不重合的。
另外,當兩直線斜率都為零時,也有類似結論。[4]

當直線不垂直於x軸時,可以設其斜截式方程為。再從其上任取2個點,則向量的方向與直線共線。我們想辦法簡化這個向量,讓它與選取的點無關,而只包含直線的關鍵參數。首先,將向量乘除一個非零的常係數,其方向不會改變。其次,注意到這是一個齊次表達式,我們可以設法利用同為齊次式的斜率關係式化簡剛才的向量表達式。即[4]

這也說明直線的走向只與其斜率有關。這是符合我們直覺的。

類似地,設另有一條直線與垂直且同樣具有斜率的直線,那麼可以設的斜截式方程為。再由上述類似的討論可知的方向向量為

由向量垂直關係的數量積公式可得[4]

Crystal Project Warehause 向量(1, k)一定與直線平行,或者說是該直線的1個方向向量

對於2個斜率存在的直線,它們相互平行的充要條件是斜率一致:

相互垂直的充要條件是斜率之積為-1:

如果寫成一般方程,則的平行條件是:

(如果還有,則兩直線不但平行,而且完全重合。)

垂直條件是:

到角公式與旋轉問題[編輯]

我們先給出有關直線之間「到角」的概念:

設有兩條直線相交於一點A,我們定義直線按逆時針方向旋轉到與重合時所轉的最小角度,叫做(從)的角[4]

設兩條相交的直線的傾斜角分別為,斜率分別為,從的角記為。易由兩直線到角的定義畫圖分析得到:

無論是上述哪種情況,都能得到:

我們利用直線方程中更常見的斜率參數來替換傾斜角:

由於當兩直線平行(只要斜率存在)時,上式仍然成立。這樣,我們得到了直線的到角公式[4]

Crystal Project Warehause 設兩直線的斜率分別為,則從的到角計算公式為:

由於到角是有方向、可以疊加的,可以解決涉及直線的旋轉與對稱問題。

Crystal Clear action edit 相關例題1: 已知一條直線L過坐標原點,且其傾斜角比直線的傾斜角大。求直線L的方程。

兩直線相交,會形成2對對頂角,其中較小的角就是兩直線的夾角。由到角和夾角的幾何關係不難得到兩直線的夾角要麼就是到角,要麼就是倒角的補角[4]。即:

Crystal Project Warehause 設兩直線的斜率分別為,從的到角為。則它們所構成的夾角的計算公式為[4]

Crystal Clear action edit 相關例題2: 已知直線L經過2條直線的交點,且與所成的夾角大小為。求直線L的方程。

Crystal Clear action edit 相關例題3: 設2條相交直線所構成的夾角為A,求A的角平分線所在的直線方程。

點到直線的距離與平行直線的距離[編輯]

點到直線的距離有2種推導方法[4]

  • 過給定點作已知直線的垂線,求出垂線的長即為距離。
  • 利用等面積法。

無論採用哪種方法,都可以得到下列公式:

Crystal Project Warehause (平面上點到直線的距離公式) 平面上定點到直線Ax + By + C = 0的距離d為[4]

另一種常見問題是求平行直線之間的距離。這種問題可以轉化為求其中一條直線上的一點到另一條直線的距離,即線與線的距離問題轉化為點與線的距離問題[4]

按照這個思路,我們可以推知一般性的平行線距離公式:

Crystal Project Warehause (平面上兩平行線之間的距離公式)設平面上兩條平行線的方程分別是,則其間距計算的一般公式為:

Crystal Clear action edit 相關例題: 確定直線與直線的間距。

常用結論與常見模型[編輯]

三角形面積公式[編輯]

我們求平面上不共線的3點構成的三角形的面積表達式。

我們取線段為底邊,利用原始公式「底乘以高,再除以二」來求出三角形的面積。

首先,由勾股定理可知所取三角形底邊的長

其次,我們來作垂線求出高。已知過兩點的直線L的方程為(先採用兩點式方程,然後逐漸轉化成一般式方程,以便於在下一步套用距離公式):

再由點到直線的距離公式可知到L的距離h為:

有了底和高h,則易知三角形的面積A為:

Crystal Clear action info 提示:後面會學到,這個公式還可以使用二階行列式的記法加以化簡。

對稱問題[編輯]

有關直線的對稱問題主要包括下列幾類:

  • 點關於直線對稱或直線關於點對稱。本小節會補充相關結論。
  • 直線的簡單旋轉。這可以由有關到角的計算解決。
  • 一條直線關於另一條直線的對稱直線,或翻轉、對摺後的直線。本質上還是可以轉化為將直線繞交點朝正方向或反方向旋轉合適角度的問題。
  • 光線的反射、折射問題。可以當作圍繞交點的旋轉或翻折類問題處理。
  • 直線沿向量的平移。這裡將平移視作廣義的對稱操作。可以將直線方程視為函數,然後利用函數圖象平移的規律解決。

之前,我們已經學習了下列有關對稱點的知識[5]

  • 點(a, b)關於點(m, n)的對稱坐標為(2m - a, 2n - b)。
  • 點(a, b)關於x軸、y軸、原點、直線y = x、直線y = -x的對稱點分別為(a, -b), (-a, b), (-a, -b), (b, a), (-b, -a)。

關於點與更一般的直線的鏡像對稱問題,我們可以得到下列結論:

Crystal Project Warehause 給定直線L : Ax + By + C = 0,則直線L外一點關於此直線的對稱點的坐標點為[5]

Crystal Clear action edit 相關例題1: 求與直線2x + 3y - 6 = 0關於點(1, -1)對稱的直線方程。

Crystal Clear action edit 相關例題2: 一束光線從點A (-3, 4)朝右下方出發,在x軸上的C點發生後,又在y軸上的D點發生反射,最後經過點B (-2, 6)。求中間經過的直線段CD所在的直線方程。

結合幾何特徵確定未知的點或直線[編輯]

Crystal Clear action edit 相關例題1: 在直線L : x + y - 5 = 0上找一點P (x, y),使得點P對A (1, 0), B (3, 0)的視角最大。

Crystal Clear action edit 相關例題2: 已知A (0, 3), B (-1, 0), C (3, 0)。求D點的坐標,使得四邊形ABCD為等腰梯形。

Crystal Clear action edit 相關例題3: 直線L過點M (2, 1),且分別交x軸、y軸於點A、B。點O是坐標原點。

(1) 求當面積最小時直線L的方程。
(2) 當|MA||MB|最小時,求直線L的方程。

Crystal Clear action edit 相關例題4: 設定點A (3, 1),然後在直線y = x和y = 0上分別求點M和N,使得的周長最短,並求出最短周長的值。

直線系方程[編輯]

符合特定條件的一組直線構成一個直線系pencil of lines[5]

Crystal Clear app games 玩笑:翻譯英文數學資料(尤其是使用機器翻譯)時,不要把幾何學中的術語「系列」(pencil)翻譯成「鉛筆」(pencil),否則很容易鬧笑話。

常見的直線系方程equations for a pencil of lines)包括[5]

  • 過定點的直線系方程:(這個直線系方程中並未包括直線。)
  • 和直線A x + B y + C = 0平行(且不重合)的直線系方程:
  • 和直線A x + B y + C = 0垂直的直線系方程:B x + A y + C = 0
  • 經過兩條相交直線的交點的直線系方程:

(這個直線系方程中並未包括直線。)

點向式、點法式和參數方程[編輯]

當斜率存在且不為零時,直線的點斜式方程很容易改寫為點向式方程
點向式方程的一般形式為:
從點向式方程可以輕鬆看出向量是直線的1個方向向量。反之,如果已知直線通過的點與方向向量,也容易寫出此點向式方程[6]

對於一般形式的直線Ax + By = C,如果A、B都不為零,也容易得到點向式方程為。其中的待定係數可通過對比係數的方法求出。

如果再設,則由點向式方程可得:
上式中的x與y可視為分別由參變量t的取值而定,因此叫做以t為參變量的參數方程parametric equation(s))。[7]

我們可以給直線的參數方程一個幾何含義更清晰的解釋。設直線L經過點是它的一個方向向量。再設P (x, y)是直線L上的任意一點,則由向量,可知存在唯一的實數t,使得[7]

Crystal Project Warehause 過點,且與共線的直線的參數方程為:

如果聯立這2個方程,消去其中的參變量t,就可以得到普通的只含x與y的直角坐標方程。[7]

Crystal Clear action info 提示:直線的點向式方程和參數方程的重要性還在於它可以推廣到三維的情形。例如後面會學到,三維空間中的直線方程都可以寫作如下的參數方程形式:

類似地,也可以定義垂直於直線所在方向的向量為直線的法向量。通過將直線甲的法向量與直線乙的方向向量作內積運算,也可以快速判斷二者是否是垂直關係。[7]

叫做直線的點法式方程[7]。從點法式能直接得出其法向量為(A, B)。

Crystal Project Warehause 平面直線與向量有關的2種形式如下:

  • 點向式(易於得到方向向量):
  • 點法式(易於得到法向量):

利用向量的夾角計算公式,還可以得到直線的如下夾角計算公式:

Crystal Project Warehause 直線與直線的夾角的餘弦為[7]

割線迭代法[編輯]

割線迭代法是一種結合函數特徵並基於數列迭代思想的函數零點求法。後面會學到,割線法的改進版本為牛頓切線迭代法

與其它板塊知識點或特殊規律結合的問題[編輯]

Crystal Clear action edit 相關例題1: 已知a, b, c > 0,且直線互相垂直。求的取值範圍。

Crystal Clear action edit 相關例題2: 已知O為坐標原點,的邊AB在直線L : x = 3上移動。

(1) 設的外心為,且設坐標,用分別表示的值。
(2) 若,求外心P的軌跡方程。

Crystal Clear action edit 相關例題3: 已知4條直線圍成一個四邊形。求出使此四邊形具有外接圓的k值。

Crystal Clear action edit 相關例題4: 當a, b為有理數時,稱點P (a, b)為有理點。又設,則直線AB上(    )。

A.不存在有理點;B.僅有1個有理點;C.僅有2個有理點;D.有無窮多個有理點

補充習題[編輯]

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參見[編輯]

參考資料[編輯]

  1. 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」第7.1小節「傾斜角和斜率」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 34–37. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中國大陸)). 
  2. 王申懷 (本冊主編); 馬波; 張鶴; 王敬庚; 陶維林; 張勁松 (編者+責任編輯). 第3章「直線與方程」中的「探究與發現」部分. (編) 劉紹學 (主編); 錢珮玲 (副主編); 章建躍 (副主編). 高中數學 (A版). 普通高中課程標準實驗教科書 必修2 1. 中國北京市沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 95–96. ISBN 7-107-17706-0 (中文(中國大陸)). 
  3. 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」第7.2小節「直線的方程」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 38–43. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中國大陸)). 
  4. 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」第7.3小節「兩條直線的位置關係」. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 45–53. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中國大陸)). 
  5. 5.0 5.1 5.2 5.3 黃仁壽; 歐陽新龍; 吳有根; 吳江春. 專題3「兩直線的位置關係與距離公式」. (編) 徐紅瑾 (項目編輯); 陳信漪 (文字編輯). 解析幾何. 新專題教程 高中數學3. 朱傑人 (出版人) 4. 中國上海市中山北路3663號: 華東師範大學出版社. 2004: 22–23. ISBN 978-7-5617-3764-4 (中文(中國大陸)). 
  6. 劉初喜; 施洪亮; 蔡東山. 第14章「坐標平面上的直線」第14.2節「直線的傾斜角和斜率」. 華東師範大學第二附屬中學(實驗班用)·數學 高中下冊 2. 中國上海市永福路123號: 上海教育出版社. 2015: 84–88. ISBN 978-7-5444-6432-1 (中文(中國大陸)). 
  7. 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 人民教育出版社中學數學室. 第7章「直線和圓的方程」中的「閱讀材料:向量與直線」部分. 數學. 全日制普通高級中學教科書 (必修) 第2冊(上) 1. 中國北京沙灘后街55號: 人民教育出版社. 2004: 55–56. ISBN 7-107-17450-9 (中文(中國大陸)). 

外部連結[編輯]

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