国中数学/乘法公式

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国中常见的四个乘法公式分别是

分配律 $(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d$ 、

和的平方公式 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ^{[注 1]}、

差的平方公式 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 与

平方差公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 。

分配律

证明

利用分配律， $(a + b) (c + d) = (a + b) c + (a + b) d = a c + b c + a d + b d$

例子

例题 $1.$ 计算 $1002 \times 197$ 。

解： $1002 \times 197 = (1000 + 2) \times [200 + (- 3)] = 1000 \times 200 + 1000 \times (- 3) + 2 \times 200 + 2 \times (- 3) = 200000 - 3000 + 400 - 6 = 197394$

例题 $2.$ 计算 $673 \times 524 + 227 \times 524 - 673 \times 224 - 227 \times 224$ 。

解： $673 \times 524 + 227 \times 524 - 673 \times 224 - 227 \times 224 = (673 + 227) \times (524 - 224) = 900 \times 300 = 270000$

习题

习题 $1.$ 计算 $100 \frac{2}{7} \times 70 \frac{3}{5}$ 。

习题 $2.$ 计算 $513 \frac{3}{8} \times 221 \frac{6}{11} + 486 \frac{5}{8} \times 221 \frac{6}{11} + 513 \frac{3}{8} \times 178 \frac{5}{11} + 486 \frac{5}{8} \times 178 \frac{5}{11}$ 。

和的平方公式

证明

在 $(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d$ 的 $c$ 代入 $a$ ， $d$ 代入 $b$ ，得到

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + b a + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

例子

例题 $3.$ 求 $(400 \frac{1}{5})^{2}$ 之值。

解： $(400 \frac{1}{5})^{2} = (400 + \frac{1}{5})^{2} = 40 0^{2} + 2 \times 400 \times (\frac{1}{5}) + (\frac{1}{5})^{2} = 160000 + 160 + \frac{1}{25} = 160160 \frac{1}{25}$

例题 $4.$ 求 $(234 \frac{4}{7})^{2} + 2 \times (234 \frac{4}{7}) \times (65 \frac{3}{7}) + (65 \frac{3}{7})^{2}$ 之值。

解： $(234 \frac{4}{7})^{2} + 2 \times (234 \frac{4}{7}) \times (65 \frac{3}{7}) + (65 \frac{3}{7})^{2} = (234 \frac{4}{7} + 65 \frac{3}{7})^{2} = 30 0^{2} = 90000$

习题

习题 $3.$ 求 $(400.7)^{2}$ 之值。

习题 $4.$ 求 $17 3^{2} + 2 \times 173 \times 27 + 2 7^{2}$ 之值。

差的平方公式

证明

在和的平方公式 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 的 $b$ 代入 $- b$ 得到

$(a - b)^{2} = [a + (- b)]^{2} = a^{2} + 2 a (- b) + (- b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

例子

例题 $5.$ 求 $(699 \frac{6}{7})^{2}$ 之值。

解： $(699 \frac{6}{7})^{2} = (700 - \frac{1}{7})^{2} = 70 0^{2} + 2 \times 700 \times (\frac{1}{7}) + (\frac{1}{7})^{2} = 490000 - 200 + \frac{1}{49} = 489800 \frac{1}{49}$

例题 $6.$ 求 $(123 \frac{7}{13})^{2} - 2 \times (123 \frac{7}{13}) \times (23 \frac{7}{13}) + (23 \frac{7}{13})^{2}$ 之值。

解： $(123 \frac{7}{13})^{2} - 2 \times (123 \frac{7}{13}) \times (23 \frac{7}{13}) + (23 \frac{7}{13})^{2} = (123 \frac{7}{13} - 23 \frac{7}{13})^{2} = 10 0^{2} = 10000$

习题

习题 $5.$ 求 $59 8^{2}$ 之值。

习题 $6.$ 求 $254. 4^{2} - 2 \times 254.4 \times 54.4 + 54. 4^{2}$ 之值。

平方差公式

证明

在 $(a + b) (c + d) = a c + b c + a d + b d$ 的 $c$ 代入 $a$ ， $d$ 代入 $- b$ ，得到

$(a + b) (a - b) = a^{2} + b a - a b + b (- b) = a^{2} - b^{2}$

例子

例题 $7.$ 求 $(400 \frac{1}{5}) \times (399 \frac{4}{5})$ 之值。

解： $(400 \frac{1}{5}) \times (399 \frac{4}{5}) = (400 + \frac{1}{5}) \times (400 - \frac{1}{5}) = 40 0^{2} - (\frac{1}{5})^{2} = 160000 - \frac{1}{25} = 159999 \frac{24}{25}$

例题 $8.$ 求 $(152 \frac{1}{2})^{2} - (52 \frac{1}{2})^{2}$ 之值。

解： $(152 \frac{1}{2})^{2} - (52 \frac{1}{2})^{2} = (152 \frac{1}{2} + 52 \frac{1}{2}) \times (152 \frac{1}{2} - 52 \frac{1}{2}) = 205 \times 100 = 20500$

习题

习题 $7.$ 求 $599.4 \times 600.6$ 之值。

习题 $8.$ 求 $42 9^{2} - 32 9^{2}$ 之值。

注释

↑ $a^{2} = a$ ‧ $a$ ，详见指数记号。

[1] $a^{2} = a$ ‧ $a$ ，详见指数记号。

[注 1]

分配律

证明

例子

习题

和的平方公式

证明

例子

习题

差的平方公式

证明

例子

习题

平方差公式

证明

例子

习题

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