國中數學/數的運算規則

以下是國中數學常見的運算規則。

四則運算

以下是四則運算的計算次序：

1. 指數部分。
2. 絕對值部分。
3. 括號：( )$\Rightarrow$ [ ] $\Rightarrow${ }。
4. 先乘除後加減。
5. 從左而右計算。

交換律

設$a$、$b$為兩個數，則

1. $a+b=b+a$
2. $a\times b=b\times a$

結合律

設$a$、$b$、$c$為三個數，則

1. $(a+b)+c=a+(b+c)$
2. $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

去括號規則

設$a$、$b$為兩個數，則

1. $-(a+b)=-a-b$
2. $-(a-b)=-a+b$
3. $-(-a+b)=a-b$
4. $-(-a-b)=a+b$

分配律

設$a$、$b$、$c$為三個數，則

1. $a\times b+a\times c=a\times (b+c)$
2. $a\times b-a\times c=a\times (b-c)$
3. $b\times a+c\times a=(b+c)\times a$
4. $b\times a-c\times a=(b-c)\times a$

三一律

設$a$、$b$為兩個數，則$a>b$、$a<b$與$a=b$恰好只有一個成立。

遞移律

設$a$、$b$、$c$為三個數，則

1. 若$a>b$且$b>c$，則$a>c$。
2. 若$a=b$且$b=c$，則$a=c$。
3. 若$a<b$且$b<c$，則$a<c$。

等量公理

參見：等量公理

設$a$、$b$滿足$a=b$，$c$為任意一個數，則

1. $a+c=b+c$
2. $a-c=b-c$
3. $a\times c=b\times c$
4. $a\div c=b\div c$ ($c\neq 0$)

消去律

設$a$、$b$、$c$為任意三個數，則

1. 若$a+c=b+c$，則$a=b$。
2. 若$a-c=b-c$，則$a=b$。
3. 若$a\times c=b\times c$($c\neq 0$)，則$a=b$。
4. 若$a\div c=b\div c$ ($c\neq 0$)，則$a=b$。

證明消去律

依序利用等量減法公理、等量加法公理、等量除法公理與等量乘法公理得證。我們證明第3條式子，剩餘作為習題。

證明消去律3：

$a\times c=b\times c$
因為$c\neq 0$，所以可以同除以$c$$\Rightarrow a\times c\div c=b\times c\div c$
$\Rightarrow a=b$

習題

證明消去律1、2、4。

不等式的運算

參見：解一元一次不等式

• 設$a$、$b$滿足$a<b$，$c$為任意一個數，則
  1. $a+c<b+c$
  2. $a-c<b-c$
  3. 當$c>0$時，$ac<bc$
  4. 當$c<0$時，$ac{\color {red}>}bc$
• 設$a$、$b$滿足$a>b$，$c$為任意一個數，則
  1. $a+c>b+c$
  2. $a-c>b-c$
  3. 當$c>0$時，$ac>bc$
  4. 當$c<0$時，$ac{\color {red}<}bc$