微积分学/极限/极限的性质

上一节中我们给出了数列和函数的极限的定义。以下我们将研究与极限相关的一些性质。如上一节的评论中最后一条指出的，数列的极限可以看成是函数极限的特列，所以我们将主要讨论函数极限的性质，间或给出数列极限的情况。

极限的性质

性质 1（极限的唯一性）：
函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）如果存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么只有一个。

这个性质告诉我们，求某个函数或数列的极限时，只需要找到一个极限值就可以了。这个性质也可以用于证明极限不存在。

例一

证明函数$f(x)=\sin (x)$在$x$趋于正无穷大时没有极限。这里的证明会运用反证法。

假设函数$f(x)=\sin (x)$在$x$趋于正无穷大时有极限，那么由性质 1可知，极限只有一个。设这个极限为$L$。根据极限的定义，对任意的正实数$ϵ$，都存在正实数$M$，使得对任意$x>M$，都有$|f(x)-L|<ϵ$。现选取$ϵ=\frac{1}{3}$，则存在对应的$M$。选择一个$k\in \mathbb{N}$，使得$2k\pi >M$，那么$(2k+1)\pi >M$。这时候$f$的值是：$f(2k\pi )=\sin (2k\pi )=1$和$f((2k+1)\pi )=\sin ((2k+1)\pi )=-1$，所以有

$|1-L|<\frac{1}{3},|-1-L|<\frac{1}{3}$

也就是说，极限$L$同时满足$L\in (\frac{2}{3},\frac{4}{3})$和$L\in (-\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$，但这不可能，因为这两个区间交集是空集（没有共同元素）。综上所述，初始的假设不成立，函数$f$在$x$趋于正无穷大时没有极限。

性质 2（极限的局部有界性）：
如果函数$f(x)$在某点$c$有（有限的）极限$L$，那么函数$f(x)$点$c$附近有界。

这个性质可以从极限的定义导出。由于$x$离点$c$足够近的时候，$f(x)$和$L$的差别就会足够小，所以不可能趋于无穷大。这个性质还有若干个不同的版本，比如，如果函数$f(x)$在某点$c$有（有限的）极限$L$，那么对一个大于$L$的常数$M$，函数$f(x)$点$c$附近必然小于常数$M$。

性质 3（极限的保号性）：

如果一个函数在某一点附近大于等于0，并且在趋于这一点时有极限，那么极限也大于等于0。

如果一个函数在自变量充分大（充分小）的时候恒大于等于0，并且在正无穷（负无穷）处有极限，那么极限也大于等于0.

如果一个数列的每一项都大于等于0，并且有极限，那么它的极限大于等于0.

极限的保号性在证明不等式或求极限的时候都有用处。需要注意的是，即使函数在一点附近严格大于0，极限也可能等于0，所以保号性只限于宽松的不等号，而不能应用于严格的不等号：一个函数在某一点附近严格大于0，并且在趋于这一点时有极限，并不能推出极限也大于0。

从极限的保号性可以推出极限的另一个性质：

推论 1：

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$c$附近有极限：$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L_1,\underset{x\to c}{lim}g(x)=L_2$

并且$f(x)$总是大于等于$g(x)$，那么极限$L_1⩾L_2$。

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在自变量充分大（充分小）的时候有极限，比如：$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L_1,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=L_2$

并且$f(x)$恒大于等于$g(x)$，那么极限$L_1⩾L_2$。

如果两个数列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$和$\{b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$都有极限：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=L_1,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=L_2$

并且$\mathrm{\forall }n,a_n⩾b_n$，那么极限$L_1⩾L_2$。

例二

证明$\pi >3$。

让我们计算单位圆内接正多边形的面积$P(n)$：$P(n)=\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$当$n=12$的时候，面积$P(n)=3$。使用平面几何可以证明$P(2n)>P(n)$，并且由于正多边形随着边数的增加越来越近似圆形，我们有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(n)=\pi$考虑数列：

$a_n=P(12\cdot 2^n),b_n=P(24).$

数列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$的每一项都比前一项大，所以$\mathrm{\forall }n,a_n>a_1=P(24)=b_n$，所以根据性质 3，

$\pi =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n⩾\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=P(24)>P(12)=3.$

从性质 3还可以推出一个在实际中十分有用的结果：

推论 2（夹逼定理）：

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$c$附近有同一个极限：$\underset{x\to c}{lim}f(x)=\underset{x\to c}{lim}g(x)=L$

并且另一个函数$h(x)$总是介于$f(x)$和$g(x)$之间：$f(x)⩽h(x)⩽g(x).$

那么$h(x)$在点$c$附近也有极限，并且极限是$L$。

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在自变量充分大（充分小）的时候有同一个极限，比如：$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=L$

并且另一个函数$h(x)$总是介于$f(x)$和$g(x)$之间：$f(x)⩽h(x)⩽g(x).$

那么$h(x)$在趋向正无穷大时也有极限，并且极限是$L$。

如果两个数列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$和$\{b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$都有同一个极限：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=L.$

并且另一个数列$\{c_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$总是介于$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$和$\{b_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$之间：$a_n⩽c_n⩽b_n.$

那么数列$\{c_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$的极限也存在，并且极限是$L$。

夹逼定理有助于解决许多求极限的问题。当一个函数（或数列）的极限比较难求的时候，可以用两个函数“夹迫”它，然后证明这两个函数有相同的极限，然后运用夹逼定理就可以得到原来的函数也有相同的极限。

例三

求函数$f:x\mapsto \frac{\sin (x)}{x}$当$x$趋于$0$时的极限。

这是一个很重要的基本极限。首先从几何上可以证明如下的不等关系：

$\cos (x)<\frac{\sin (x)}{x}<1$

然而两边的函数$g:x\mapsto \cos (x)$和$h:x\mapsto 1$在$x$趋于$0$时的极限都是1，所以根据夹逼定理，$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$当$x$趋于$0$时的极限也是1。

例四

求数列$a_n=(2^n+3^n+4^n{)}^{1/n}$的极限。

欲运用夹逼定理求数列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$的极限，则需要对每一项$a_n$进行上限和下限的估计。首先显然有：$a_n=(2^n+3^n+4^n{)}^{1/n}>(4^n{)}^{1/n}=4$，另一方面，$a_n<(4^n+4^n+4^n{)}^{1/n}=(3\cdot 4^n{)}^{1/n}=4\cdot \sqrt[n]{3}$。而我们知道：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{3}=1$，所以$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}4\cdot \sqrt[n]{3}=4$。所以根据夹逼定理，数列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$的极限是$4$。

性质 4（极限的运算法则）：

假设函数$f(x)$和$g(x)$在$x$趋于某一点$c$时有（有限的）极限：

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L_1,\underset{x\to c}{lim}g(x)=L_2$

那么：

1. $f(x)$和$g(x)$的和函数在$c$附近有极限，而且$\underset{x\to c}{lim}f(x)+g(x)=L_1+L_2.$
2. $f(x)$和$g(x)$的差函数在$c$附近有极限，而且$\underset{x\to c}{lim}f(x)-g(x)=L_1-L_2.$
3. $f(x)$和$g(x)$的乘积函数在$c$附近有极限，而且$\underset{x\to c}{lim}f(x)\cdot g(x)=L_1\cdot L_2.$
4. 若$k$是一个常数，那么函数$k\cdot f(x)$在$c$附近有极限，而且$\underset{x\to c}{lim}k\cdot f(x)=k\cdot L_1.$
5. 若$\frac{1}{g(x)}$在$c$附近有定义，并且$L_2\ne 0$，那么$f(x)$和$g(x)$的商函数在$c$附近有极限，而且$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}.$

以上是当极限存在并且有限时的极限运算法则。当自变量不是趋向某一点，而是趋向正无穷大（负无穷大），又或者是只是从单侧趋向一点时，极限的运算法则一样成立。如果$L_1$和$L_2$中有一个或两个是无穷大，那么我们有以下的运算法则：

性质 4（极限的运算法则 续）：

假设函数$f(x)$和$g(x)$在$x$趋于某一点$c$时有极限：

$\underset{x\to c}{lim}f(x)=L_1,\underset{x\to c}{lim}g(x)=L_2$

1. 若其中的$L_1$和$L_2$都不是0，那么即使其中恰有一个是正无穷（负无穷），性质 4中极限的运算法则一样成立。
2. 如果两个极限$L_1$和$L_2$都是无穷，性质 4中乘积函数和一个常数乘以函数的极限的运算法则一样成立。
3. 如果$L_1$和$L_2$都是正无穷（负无穷），那么和函数与差函数极限的运算法则不变。

对于其它的情况，极限的运算法则不再成立。例如$L_1=-\mathrm{\infty }$，$L_2=+\mathrm{\infty }$的时候$\underset{x\to c}{lim}f(x)+g(x)$不一定存在，即使存在，也可能是任何数。这些情况被称为极限的未定式。

极限的运算法则对具体计算函数的极限值十分有用。求复杂函数的极限时，可以将其拆分为较为简单的函数经过四则运算后的结果，分别对其中的每部分求极限，然后按照极限的运算法则求出原来复杂函数的极限。以下是一个例子：

例五

求分式多项式函数$f:x\mapsto \frac{x^4-3x^3+x-19}{4x^4+x^2-7x+2}$当$x$趋于正无穷大时的极限。

当$x$趋于正无穷大时，分式的分子和分母都趋于正无穷大，所以商函数极限的运算法则并不适用，但我们可以将这个分式稍作变形： $\frac{x^4-3x^3+x-19}{4x^4+x^2-7x+2}=\frac{1-3\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}-19\frac{1}{x^4}}{4+\frac{1}{x^2}-7\frac{1}{x^3}+2\frac{1}{x^4}}$ 这时分子分母都有有限的极限，所以可以应用商函数极限的运算法则：

$\begin{array}{cc}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^4-3x^3+x-19}{4x^4+x^2-7x+2}& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-3\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}-19\frac{1}{x^4}}{4+\frac{1}{x^2}-7\frac{1}{x^3}+2\frac{1}{x^4}}\\ & =\frac{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1-3\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}-19\frac{1}{x^4})}{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(4+\frac{1}{x^2}-7\frac{1}{x^3}+2\frac{1}{x^4})}\\ & =\frac{1-3\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}+\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^3}-19\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^4}}{4+\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}-7\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^3}+2\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^4}}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$

性质 5（复合函数极限法则）：
设函数$f:ℝ\to ℝ$和$g:ℝ\to ℝ$。函数$f$在$x$趋于某一点$c$时有极限：$\underset{x\to c}{lim}f(x)=l\in ℝ$，函数$g$在$x$趋于点$l$时有极限：$\underset{x\to l}{lim}g(x)=L$。那么：复合函数$g\circ f:x\mapsto g(f(x))$当$x$趋于点$c$时有极限$\underset{x\to c}{lim}g\circ f(x)=L$。

有了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则，我们就可以计算大部分初等函数的极限。

例六

求函数$f:x\mapsto e^{-(3-2x{)}^3}$当$x$趋于$2$时的极限。

这里的函数$f$是一个复合函数：$f=g\circ h$，其中的两个函数是$g:x\mapsto e^x$和$h:x\mapsto -(3-2x{)}^3$。利用性质 5中的法则，我们可以将复和函数的极限拆分：

$\underset{x\to 2}{lim}{e}^{-(3-2x{)}^3}=e^{\underset{x\to 2}{lim}-(3-2x{)}^3}=e^{-(3-\underset{x\to 2}{lim}2x{)}^3}=e^{-(3-4{)}^3}=e^1=e.$

无穷小和无穷大

无穷小是早期微积分中难以处理的一个概念。对无穷小的批判引发了第二次数学危机。随着柯西等人的努力，我们对极限和无穷小的认识逐渐加深。在现今的标准分析中，无穷小被定义为一类函数和数列。如果某个数列的极限是$0$，那么称其为无穷小。如果某个函数在趋于某点（或无穷大）时极限为$0$，那么就称这个函数是在这一点（无穷大）附近的无穷小。也就是说，无穷小并不是一个数值，也不是一个过程，而是一种函数或数列。某个函数在某一点是无穷小，但在另一点不一定是无穷小。比如函数$f:x\mapsto \sin (x^2+x)$，函数$f$在$x$趋于$0$时的极限是$0$，所以$f$是$0$附近的无穷小。但$f$在$x$趋于$1$时的极限是$\sin (2)$，所以$f$不是$1$附近的无穷小。

无穷大的概念建立在无穷小的概念上。如果一个函数的倒数是（某点附近）的无穷小，那么它就是（某点附近）的无穷大。同样地，如果某个数列$\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是无穷小，那么数列$\{a_n^{-1}{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$就是无穷大。

经过极限的四则运算法则，可以知道：若干个无穷小的和与差仍然是无穷小，常数乘以无穷小仍然是无穷小，若干个无穷小的乘积仍然是无穷小，有界函数或数列和无穷小的乘积是无穷小。

无穷小是函数或数列的一种，但无穷小也有不同的种类。根据无穷小趋向$0$的速度（收敛速度），可以将无穷小分成不同的“阶”。如果一个无穷小趋向$0$的速度比另一个快，就说它是后者的高阶无穷小，反之则称其为后者的低阶无穷小。用数学形式表达，就是：设函数$f:ℝ\to ℝ$和$g:ℝ\to ℝ$是某一点附近的（非零）无穷小，

如果$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$f$是$g$的高阶无穷小，$g$是$f$的低阶无穷小，记为$f(x)={𝑜}_c(g(x))$

如果$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}⩽M$，那么称$f$是$g$的同阶无穷小，记为$f(x)={𝒪}_c(g(x))$。

如果$0<m⩽\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}⩽M$，那么称$f$是$g$的等阶无穷小，记为$f(x)={\mathrm{\Theta }}_c(g(x))$。

如果$\underset{x\to c}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，那么称$f$是$g$的等价无穷小，记为$f(x){\sim }_{c}g(x)$。

利用等价无穷小可以简化不少求极限的计算。以下是一些等价无穷小：

$\sin (x){\sim }_{0}x,\tan (x){\sim }_{0}x,1-\cos (x){\sim }_0\frac{1}{2}{x}^2,e^x-1{\sim }_{0}x,\ln (1+x){\sim }_{0}x$

例七

求函数$f(x)=\frac{(e^x-1)\tan (x)}{1-\cos (x)}$在$x$趋于$0$时的极限。

$f(x)$可以看做是两个无穷小的乘积除以一个无穷小的商。分别用相应的无穷小代替，就可以得到：

$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(e^x-1)\tan (x)}{1-\cos (x)}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cdot x}{\frac{1}{2}{x}^2}=2$

要注意的是，只有在乘除法时才适用等价无穷小来代换，将两个无穷小的和或差用等价无穷小来代替会产生错误的结果。比如求函数$f(x)=\frac{e^x-1-\tan (x)}{1-\cos (x)}$在$x$趋于$0$时的极限，如果将$e^x-1$和$\tan (x)$等都用它们的等价无穷小代替，就会变成

$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-x}{\frac{1}{2}{x}^2}=0.$

但实际上结果不是$0$。关于无穷小和函数（或数列）的极限有如下关系：

性质 6（极限与无穷小的关系）：
如果函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么它可以表示成一个常数与一个无穷小的和。