上一节中我们给出了数列和函数的极限的定义。以下我们将研究与极限相关的一些性质。如上一节的评论中最后一条指出的,数列的极限可以看成是函数极限的特列,所以我们将主要讨论函数极限的性质,间或给出数列极限的情况。
性质 1(极限的唯一性):
函数在某点或无穷远处的极限(数列的极限)如果存在(无论是一个确定的数值还是无穷大),那么只有一个。
这个性质告诉我们,求某个函数或数列的极限时,只需要找到一个极限值就可以了。这个性质也可以用于证明极限不存在。
例一
证明函数
在
趋于正无穷大时没有极限。这里的证明会运用反证法。
假设函数
在
趋于正无穷大时有极限,那么由性质 1可知,极限只有一个。设这个极限为
。根据极限的定义,对任意的正实数
,都存在正实数
,使得对任意
,都有
。现选取
,则存在对应的
。选择一个
,使得
,那么
。这时候
的值是:
和
,所以有
![{\displaystyle \vert 1-L\vert <{\frac {1}{3}}\,,\qquad \vert -1-L\vert <{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9734c7dd6c7be846c6bda78b8dc09026c31e818)
也就是说,极限
同时满足
和
,但这不可能,因为这两个区间交集是空集(没有共同元素)。综上所述,初始的假设不成立,函数
在
趋于正无穷大时没有极限。
性质 2(极限的局部有界性):
如果函数
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
在某点
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
有(有限的)极限
![{\displaystyle L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)
,那么函数
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
点
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
附近有界。
这个性质可以从极限的定义导出。由于
离点
足够近的时候,
和
的差别就会足够小,所以不可能趋于无穷大。这个性质还有若干个不同的版本,比如,如果函数
在某点
有(有限的)极限
,那么对一个大于
的常数
,函数
点
附近必然小于常数
。
性质 3(极限的保号性):
如果一个函数在某一点附近大于等于0,并且在趋于这一点时有极限,那么极限也大于等于0。
如果一个函数在自变量充分大(充分小)的时候恒大于等于0,并且在正无穷(负无穷)处有极限,那么极限也大于等于0.
如果一个数列的每一项都大于等于0,并且有极限,那么它的极限大于等于0.
极限的保号性在证明不等式或求极限的时候都有用处。需要注意的是,即使函数在一点附近严格大于0,极限也可能等于0,所以保号性只限于宽松的不等号,而不能应用于严格的不等号:一个函数在某一点附近严格大于0,并且在趋于这一点时有极限,并不能推出极限也大于0。
从极限的保号性可以推出极限的另一个性质:
推论 1:
如果两个函数
和
在某一点
附近有极限:
并且
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
总是大于等于
![{\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)
,那么极限
![{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351e9064e5735ae63d4fc8e1064c4702005cc0ea)
。
如果两个函数
和
在自变量充分大(充分小)的时候有极限,比如:
并且
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
恒大于等于
![{\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)
,那么极限
![{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351e9064e5735ae63d4fc8e1064c4702005cc0ea)
。
如果两个数列
和
都有极限:
并且
![{\displaystyle \forall n,\,a_{n}\geqslant b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3502e51524f1efc858e214c526427bc4e252d553)
,那么极限
![{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351e9064e5735ae63d4fc8e1064c4702005cc0ea)
。
例二
证明
。
让我们计算单位圆内接正多边形的面积
:
当
的时候,面积
。使用平面几何可以证明
,并且由于正多边形随着边数的增加越来越近似圆形,我们有
考虑数列:
![{\displaystyle a_{n}=P(12\cdot 2^{n})\,,\qquad b_{n}=P(24).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f249115e594795c92e8a8648a2a9fc66d16056)
数列
的每一项都比前一项大,所以
,所以根据性质 3,
![{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}\geqslant \lim _{n\to \infty }b_{n}=P(24)>P(12)=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58f724810cd2e25ff3226c9a4a78903e486e8ae)
从性质 3还可以推出一个在实际中十分有用的结果:
夹逼定理有助于解决许多求极限的问题。当一个函数(或数列)的极限比较难求的时候,可以用两个函数“夹迫”它,然后证明这两个函数有相同的极限,然后运用夹逼定理就可以得到原来的函数也有相同的极限。
例三
求函数
当
趋于
时的极限。
这是一个很重要的基本极限。首先从几何上可以证明如下的不等关系:
![{\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a62156640a906a2312c5b30af31b17bfaf0c89)
然而两边的函数
和
在
趋于
时的极限都是1,所以根据夹逼定理,
当
趋于
时的极限也是1。
例四
求数列
的极限。
欲运用夹逼定理求数列
的极限,则需要对每一项
进行上限和下限的估计。首先显然有:
,另一方面,
。而我们知道:
,所以
。所以根据夹逼定理,数列
的极限是
。
以上是当极限存在并且有限时的极限运算法则。当自变量不是趋向某一点,而是趋向正无穷大(负无穷大),又或者是只是从单侧趋向一点时,极限的运算法则一样成立。如果
和
中有一个或两个是无穷大,那么我们有以下的运算法则:
对于其它的情况,极限的运算法则不再成立。例如
,
的时候
不一定存在,即使存在,也可能是任何数。这些情况被称为极限的未定式。
极限的运算法则对具体计算函数的极限值十分有用。求复杂函数的极限时,可以将其拆分为较为简单的函数经过四则运算后的结果,分别对其中的每部分求极限,然后按照极限的运算法则求出原来复杂函数的极限。以下是一个例子:
例五
求分式多项式函数
当
趋于正无穷大时的极限。
当
趋于正无穷大时,分式的分子和分母都趋于正无穷大,所以商函数极限的运算法则并不适用,但我们可以将这个分式稍作变形:
这时分子分母都有有限的极限,所以可以应用商函数极限的运算法则:
![{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {\lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}\right)}{\lim _{x\to +\infty }\left(4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}\right)}}\\&={\frac {1-3\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}-19\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}{4+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}-7\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}+2\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48302f2ee81fecde896f74f82a3a7d2864edab32)
性质 5(复合函数极限法则):
设函数
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e6e186aabef9e51814bbce62e625dc67e825f2)
和
![{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf02b0de20abe9138ba32a40f4fe077f88ecd52d)
。函数
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
在
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
趋于某一点
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
时有极限:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=l\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9059f65d7bbd03681b209564ed41c6de460a7f)
,函数
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
在
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
趋于点
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
时有极限:
![{\displaystyle \lim _{x\to l}g(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b69fe468c52f7abacfa00095d2d35f6de20f7ab)
。那么:复合函数
![{\displaystyle g\circ f:\,x\mapsto g(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e35973130b1ab89f187f3ad17806971bf74de4)
当
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
趋于点
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
时有极限
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g\circ f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cd04b21293a0e9ea34955110031668e0891612)
。
有了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则,我们就可以计算大部分初等函数的极限。
例六
求函数
当
趋于
时的极限。
这里的函数
是一个复合函数:
,其中的两个函数是
和
。利用性质 5中的法则,我们可以将复和函数的极限拆分:
![{\displaystyle \lim _{x\to 2}e^{-(3-2x)^{3}}=e^{\lim _{x\to 2}-(3-2x)^{3}}=e^{-(3-\lim _{x\to 2}2x)^{3}}=e^{-(3-4)^{3}}=e^{1}=e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e876ad52d20ac362d5174370ec4289cb7024f50)
无穷小是早期微积分中难以处理的一个概念。对无穷小的批判引发了第二次数学危机。随着柯西等人的努力,我们对极限和无穷小的认识逐渐加深。在现今的标准分析中,无穷小被定义为一类函数和数列。如果某个数列的极限是
,那么称其为无穷小。如果某个函数在趋于某点(或无穷大)时极限为
,那么就称这个函数是在这一点(无穷大)附近的无穷小。也就是说,无穷小并不是一个数值,也不是一个过程,而是一种函数或数列。某个函数在某一点是无穷小,但在另一点不一定是无穷小。比如函数
,函数
在
趋于
时的极限是
,所以
是
附近的无穷小。但
在
趋于
时的极限是
,所以
不是
附近的无穷小。
无穷大的概念建立在无穷小的概念上。如果一个函数的倒数是(某点附近)的无穷小,那么它就是(某点附近)的无穷大。同样地,如果某个数列
是无穷小,那么数列
就是无穷大。
经过极限的四则运算法则,可以知道:若干个无穷小的和与差仍然是无穷小,常数乘以无穷小仍然是无穷小,若干个无穷小的乘积仍然是无穷小,有界函数或数列和无穷小的乘积是无穷小。
无穷小是函数或数列的一种,但无穷小也有不同的种类。根据无穷小趋向
的速度(收敛速度),可以将无穷小分成不同的“阶”。如果一个无穷小趋向
的速度比另一个快,就说它是后者的高阶无穷小,反之则称其为后者的低阶无穷小。用数学形式表达,就是:设函数
和
是某一点附近的(非零)无穷小,
- 如果
,那么称
是
的高阶无穷小,
是
的低阶无穷小,记为![{\displaystyle f(x)={\mathit {o}}_{c}\left(g(x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32e0fe01d89019efff86a84da98b410fd502c58)
- 如果
,那么称
是
的同阶无穷小,记为
。
- 如果
,那么称
是
的等阶无穷小,记为
。
- 如果
,那么称
是
的等价无穷小,记为
。
利用等价无穷小可以简化不少求极限的计算。以下是一些等价无穷小:
![{\displaystyle \sin(x)\sim _{0}x\;,\quad \tan(x)\sim _{0}x\;,\quad 1-\cos(x)\sim _{0}{\frac {1}{2}}x^{2}\;,\quad e^{x}-1\sim _{0}x\;,\quad \ln(1+x)\sim _{0}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5d6304d4737e44365f0f327f8a949df7c86e65)
例七
求函数
在
趋于
时的极限。
可以看做是两个无穷小的乘积除以一个无穷小的商。分别用相应的无穷小代替,就可以得到:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fecc9660be9c7a95fbabff13ec49ee27537405)
要注意的是,只有在乘除法时才适用等价无穷小来代换,将两个无穷小的和或差用等价无穷小来代替会产生错误的结果。比如求函数
在
趋于
时的极限,如果将
和
等都用它们的等价无穷小代替,就会变成
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf0619afa4bf717fe9d4cc20ea2a5fa37752dd7)
但实际上结果不是
。关于无穷小和函数(或数列)的极限有如下关系:
性质 6(极限与无穷小的关系):
如果函数在某点或无穷远处的极限(数列的极限)存在(无论是一个确定的数值还是无穷大),那么它可以表示成一个常数与一个无穷小的和。