上一節中我們給出了數列和函數的極限的定義。以下我們將研究與極限相關的一些性質。如上一節的評論中最後一條指出的,數列的極限可以看成是函數極限的特列,所以我們將主要討論函數極限的性質,間或給出數列極限的情況。
性質 1(極限的唯一性):
函數在某點或無窮遠處的極限(數列的極限)如果存在(無論是一個確定的數值還是無窮大),那麼只有一個。
這個性質告訴我們,求某個函數或數列的極限時,只需要找到一個極限值就可以了。這個性質也可以用於證明極限不存在。
例一
證明函數
在
趨於正無窮大時沒有極限。這裏的證明會運用反證法。
假設函數
在
趨於正無窮大時有極限,那麼由性質 1可知,極限只有一個。設這個極限為
。根據極限的定義,對任意的正實數
,都存在正實數
,使得對任意
,都有
。現選取
,則存在對應的
。選擇一個
,使得
,那麼
。這時候
的值是:
和
,所以有
![{\displaystyle \vert 1-L\vert <{\frac {1}{3}}\,,\qquad \vert -1-L\vert <{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9734c7dd6c7be846c6bda78b8dc09026c31e818)
也就是說,極限
同時滿足
和
,但這不可能,因為這兩個區間交集是空集(沒有共同元素)。綜上所述,初始的假設不成立,函數
在
趨於正無窮大時沒有極限。
性質 2(極限的局部有界性):
如果函數
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
在某點
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
有(有限的)極限
![{\displaystyle L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)
,那麼函數
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
點
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
附近有界。
這個性質可以從極限的定義導出。由於
離點
足夠近的時候,
和
的差別就會足夠小,所以不可能趨於無窮大。這個性質還有若干個不同的版本,比如,如果函數
在某點
有(有限的)極限
,那麼對一個大於
的常數
,函數
點
附近必然小於常數
。
性質 3(極限的保號性):
如果一個函數在某一點附近大於等於0,並且在趨於這一點時有極限,那麼極限也大於等於0。
如果一個函數在自變量充分大(充分小)的時候恆大於等於0,並且在正無窮(負無窮)處有極限,那麼極限也大於等於0.
如果一個數列的每一項都大於等於0,並且有極限,那麼它的極限大於等於0.
極限的保號性在證明不等式或求極限的時候都有用處。需要注意的是,即使函數在一點附近嚴格大於0,極限也可能等於0,所以保號性只限於寬鬆的不等號,而不能應用於嚴格的不等號:一個函數在某一點附近嚴格大於0,並且在趨於這一點時有極限,並不能推出極限也大於0。
從極限的保號性可以推出極限的另一個性質:
推論 1:
如果兩個函數
和
在某一點
附近有極限:
並且
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
總是大於等於
![{\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)
,那麼極限
![{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351e9064e5735ae63d4fc8e1064c4702005cc0ea)
。
如果兩個函數
和
在自變量充分大(充分小)的時候有極限,比如:
並且
![{\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
恆大於等於
![{\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)
,那麼極限
![{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351e9064e5735ae63d4fc8e1064c4702005cc0ea)
。
如果兩個數列
和
都有極限:
並且
![{\displaystyle \forall n,\,a_{n}\geqslant b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3502e51524f1efc858e214c526427bc4e252d553)
,那麼極限
![{\displaystyle L_{1}\geqslant L_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351e9064e5735ae63d4fc8e1064c4702005cc0ea)
。
例二
證明
。
讓我們計算單位圓內接正多邊形的面積
:
當
的時候,面積
。使用平面幾何可以證明
,並且由於正多邊形隨着邊數的增加越來越近似圓形,我們有
考慮數列:
![{\displaystyle a_{n}=P(12\cdot 2^{n})\,,\qquad b_{n}=P(24).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f249115e594795c92e8a8648a2a9fc66d16056)
數列
的每一項都比前一項大,所以
,所以根據性質 3,
![{\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}\geqslant \lim _{n\to \infty }b_{n}=P(24)>P(12)=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58f724810cd2e25ff3226c9a4a78903e486e8ae)
從性質 3還可以推出一個在實際中十分有用的結果:
夾逼定理有助於解決許多求極限的問題。當一個函數(或數列)的極限比較難求的時候,可以用兩個函數「夾迫」它,然後證明這兩個函數有相同的極限,然後運用夾逼定理就可以得到原來的函數也有相同的極限。
例三
求函數
當
趨於
時的極限。
這是一個很重要的基本極限。首先從幾何上可以證明如下的不等關係:
![{\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a62156640a906a2312c5b30af31b17bfaf0c89)
然而兩邊的函數
和
在
趨於
時的極限都是1,所以根據夾逼定理,
當
趨於
時的極限也是1。
例四
求數列
的極限。
欲運用夾逼定理求數列
的極限,則需要對每一項
進行上限和下限的估計。首先顯然有:
,另一方面,
。而我們知道:
,所以
。所以根據夾逼定理,數列
的極限是
。
以上是當極限存在並且有限時的極限運算法則。當自變量不是趨向某一點,而是趨向正無窮大(負無窮大),又或者是只是從單側趨向一點時,極限的運算法則一樣成立。如果
和
中有一個或兩個是無窮大,那麼我們有以下的運算法則:
對於其它的情況,極限的運算法則不再成立。例如
,
的時候
不一定存在,即使存在,也可能是任何數。這些情況被稱為極限的未定式。
極限的運算法則對具體計算函數的極限值十分有用。求複雜函數的極限時,可以將其拆分為較為簡單的函數經過四則運算後的結果,分別對其中的每部分求極限,然後按照極限的運算法則求出原來複雜函數的極限。以下是一個例子:
例五
求分式多項式函數
當
趨於正無窮大時的極限。
當
趨於正無窮大時,分式的分子和分母都趨於正無窮大,所以商函數極限的運算法則並不適用,但我們可以將這個分式稍作變形:
這時分子分母都有有限的極限,所以可以應用商函數極限的運算法則:
![{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {\lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}\right)}{\lim _{x\to +\infty }\left(4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}\right)}}\\&={\frac {1-3\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}-19\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}{4+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}-7\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}+2\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48302f2ee81fecde896f74f82a3a7d2864edab32)
性質 5(複合函數極限法則):
設函數
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e6e186aabef9e51814bbce62e625dc67e825f2)
和
![{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf02b0de20abe9138ba32a40f4fe077f88ecd52d)
。函數
![{\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
在
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
趨於某一點
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
時有極限:
![{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=l\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee9059f65d7bbd03681b209564ed41c6de460a7f)
,函數
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
在
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
趨於點
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
時有極限:
![{\displaystyle \lim _{x\to l}g(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b69fe468c52f7abacfa00095d2d35f6de20f7ab)
。那麼:複合函數
![{\displaystyle g\circ f:\,x\mapsto g(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e35973130b1ab89f187f3ad17806971bf74de4)
當
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
趨於點
![{\displaystyle c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a67b81c2de995bd608d5b2df50cd8cd7d92455)
時有極限
![{\displaystyle \lim _{x\to c}g\circ f(x)=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cd04b21293a0e9ea34955110031668e0891612)
。
有了極限的四則運算法則和複合函數的極限法則,我們就可以計算大部分初等函數的極限。
例六
求函數
當
趨於
時的極限。
這裏的函數
是一個複合函數:
,其中的兩個函數是
和
。利用性質 5中的法則,我們可以將復和函數的極限拆分:
![{\displaystyle \lim _{x\to 2}e^{-(3-2x)^{3}}=e^{\lim _{x\to 2}-(3-2x)^{3}}=e^{-(3-\lim _{x\to 2}2x)^{3}}=e^{-(3-4)^{3}}=e^{1}=e.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e876ad52d20ac362d5174370ec4289cb7024f50)
無窮小是早期微積分中難以處理的一個概念。對無窮小的批判引發了第二次數學危機。隨着柯西等人的努力,我們對極限和無窮小的認識逐漸加深。在現今的標準分析中,無窮小被定義為一類函數和數列。如果某個數列的極限是
,那麼稱其為無窮小。如果某個函數在趨於某點(或無窮大)時極限為
,那麼就稱這個函數是在這一點(無窮大)附近的無窮小。也就是說,無窮小並不是一個數值,也不是一個過程,而是一種函數或數列。某個函數在某一點是無窮小,但在另一點不一定是無窮小。比如函數
,函數
在
趨於
時的極限是
,所以
是
附近的無窮小。但
在
趨於
時的極限是
,所以
不是
附近的無窮小。
無窮大的概念建立在無窮小的概念上。如果一個函數的倒數是(某點附近)的無窮小,那麼它就是(某點附近)的無窮大。同樣地,如果某個數列
是無窮小,那麼數列
就是無窮大。
經過極限的四則運算法則,可以知道:若干個無窮小的和與差仍然是無窮小,常數乘以無窮小仍然是無窮小,若干個無窮小的乘積仍然是無窮小,有界函數或數列和無窮小的乘積是無窮小。
無窮小是函數或數列的一種,但無窮小也有不同的種類。根據無窮小趨向
的速度(收斂速度),可以將無窮小分成不同的「階」。如果一個無窮小趨向
的速度比另一個快,就說它是後者的高階無窮小,反之則稱其為後者的低階無窮小。用數學形式表達,就是:設函數
和
是某一點附近的(非零)無窮小,
- 如果
,那麼稱
是
的高階無窮小,
是
的低階無窮小,記為![{\displaystyle f(x)={\mathit {o}}_{c}\left(g(x)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32e0fe01d89019efff86a84da98b410fd502c58)
- 如果
,那麼稱
是
的同階無窮小,記為
。
- 如果
,那麼稱
是
的等階無窮小,記為
。
- 如果
,那麼稱
是
的等價無窮小,記為
。
利用等價無窮小可以簡化不少求極限的計算。以下是一些等價無窮小:
![{\displaystyle \sin(x)\sim _{0}x\;,\quad \tan(x)\sim _{0}x\;,\quad 1-\cos(x)\sim _{0}{\frac {1}{2}}x^{2}\;,\quad e^{x}-1\sim _{0}x\;,\quad \ln(1+x)\sim _{0}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5d6304d4737e44365f0f327f8a949df7c86e65)
例七
求函數
在
趨於
時的極限。
可以看做是兩個無窮小的乘積除以一個無窮小的商。分別用相應的無窮小代替,就可以得到:
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fecc9660be9c7a95fbabff13ec49ee27537405)
要注意的是,只有在乘除法時才適用等價無窮小來代換,將兩個無窮小的和或差用等價無窮小來代替會產生錯誤的結果。比如求函數
在
趨於
時的極限,如果將
和
等都用它們的等價無窮小代替,就會變成
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf0619afa4bf717fe9d4cc20ea2a5fa37752dd7)
但實際上結果不是
。關於無窮小和函數(或數列)的極限有如下關係:
性質 6(極限與無窮小的關係):
如果函數在某點或無窮遠處的極限(數列的極限)存在(無論是一個確定的數值還是無窮大),那麼它可以表示成一個常數與一個無窮小的和。