微積分學/極限/極限的性質

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極限/極限的性質

上一節中我們給出了數列和函數的極限的定義。以下我們將研究與極限相關的一些性質。如上一節的評論中最後一條指出的,數列的極限可以看成是函數極限的特列,所以我們將主要討論函數極限的性質,間或給出數列極限的情況。

極限的性質[編輯]

性質 1(極限的唯一性):
函數在某點或無窮遠處的極限(數列的極限)如果存在(無論是一個確定的數值還是無窮大),那麼只有一個。

這個性質告訴我們,求某個函數或數列的極限時,只需要找到一個極限值就可以了。這個性質也可以用於證明極限不存在。

例一

證明函數趨於正無窮大時沒有極限。這裡的證明會運用反證法

假設函數趨於正無窮大時有極限,那麼由性質 1可知,極限只有一個。設這個極限為。根據極限的定義,對任意的正實數,都存在正實數,使得對任意,都有。現選取,則存在對應的。選擇一個,使得,那麼。這時候的值是:,所以有

也就是說,極限同時滿足,但這不可能,因為這兩個區間交集是空集(沒有共同元素)。綜上所述,初始的假設不成立,函數趨於正無窮大時沒有極限。

性質 2(極限的局部有界性):
如果函數在某點有(有限的)極限,那麼函數附近有界。

這個性質可以從極限的定義導出。由於離點足夠近的時候,的差別就會足夠小,所以不可能趨於無窮大。這個性質還有若干個不同的版本,比如,如果函數在某點有(有限的)極限,那麼對一個大於的常數,函數附近必然小於常數

性質 3(極限的保號性):

如果一個函數在某一點附近大於等於0,並且在趨於這一點時有極限,那麼極限也大於等於0。

如果一個函數在自變量充分大(充分小)的時候恆大於等於0,並且在正無窮(負無窮)處有極限,那麼極限也大於等於0.

如果一個數列的每一項都大於等於0,並且有極限,那麼它的極限大於等於0.

極限的保號性在證明不等式或求極限的時候都有用處。需要注意的是,即使函數在一點附近嚴格大於0,極限也可能等於0,所以保號性只限於寬鬆的不等號,而不能應用於嚴格的不等號:一個函數在某一點附近嚴格大於0,並且在趨於這一點時有極限,並不能推出極限也大於0。

從極限的保號性可以推出極限的另一個性質:

推論 1:

如果兩個函數在某一點附近有極限:

並且總是大於等於,那麼極限

如果兩個函數在自變量充分大(充分小)的時候有極限,比如:

並且恆大於等於,那麼極限

如果兩個數列都有極限:

並且,那麼極限

例二

證明

讓我們計算單位圓內接正多邊形的面積的時候,面積。使用平面幾何可以證明,並且由於正多邊形隨著邊數的增加越來越近似圓形,我們有考慮數列:

數列的每一項都比前一項大,所以,所以根據性質 3

性質 3還可以推出一個在實際中十分有用的結果:

推論 2(夾逼定理):

如果兩個函數在某一點附近有同一個極限:

並且另一個函數總是介於之間:

那麼在點附近也有極限,並且極限是

如果兩個函數在自變量充分大(充分小)的時候有同一個極限,比如:

並且另一個函數總是介於之間:

那麼在趨向正無窮大時也有極限,並且極限是

如果兩個數列都有同一個極限:

並且另一個數列總是介於之間:

那麼數列的極限也存在,並且極限是

夾逼定理有助於解決許多求極限的問題。當一個函數(或數列)的極限比較難求的時候,可以用兩個函數「夾迫」它,然後證明這兩個函數有相同的極限,然後運用夾逼定理就可以得到原來的函數也有相同的極限。

例三

求函數趨於時的極限。

這是一個很重要的基本極限。首先從幾何上可以證明如下的不等關係:

然而兩邊的函數趨於時的極限都是1,所以根據夾逼定理,趨於時的極限也是1。

例四

求數列的極限。

欲運用夾逼定理求數列的極限,則需要對每一項進行上限和下限的估計。首先顯然有:,另一方面,。而我們知道:,所以。所以根據夾逼定理,數列的極限是

性質 4(極限的運算法則):

假設函數趨於某一點時有(有限的)極限:

那麼:

  1. 的和函數在附近有極限,而且
  2. 的差函數在附近有極限,而且
  3. 的乘積函數在附近有極限,而且
  4. 是一個常數,那麼函數附近有極限,而且
  5. 附近有定義,並且,那麼的商函數在附近有極限,而且

以上是當極限存在並且有限時的極限運算法則。當自變量不是趨向某一點,而是趨向正無窮大(負無窮大),又或者是只是從單側趨向一點時,極限的運算法則一樣成立。如果中有一個或兩個是無窮大,那麼我們有以下的運算法則:

性質 4(極限的運算法則 續):

假設函數趨於某一點時有極限:

  1. 若其中的都不是0,那麼即使其中恰有一個是正無窮(負無窮),性質 4中極限的運算法則一樣成立。
  2. 如果兩個極限都是無窮,性質 4中乘積函數和一個常數乘以函數的極限的運算法則一樣成立。
  3. 如果都是正無窮(負無窮),那麼和函數與差函數極限的運算法則不變。

對於其它的情況,極限的運算法則不再成立。例如的時候不一定存在,即使存在,也可能是任何數。這些情況被稱為極限的未定式。

極限的運算法則對具體計算函數的極限值十分有用。求複雜函數的極限時,可以將其拆分為較為簡單的函數經過四則運算後的結果,分別對其中的每部分求極限,然後按照極限的運算法則求出原來複雜函數的極限。以下是一個例子:

例五

求分式多項式函數趨於正無窮大時的極限。

趨於正無窮大時,分式的分子和分母都趨於正無窮大,所以商函數極限的運算法則並不適用,但我們可以將這個分式稍作變形: 這時分子分母都有有限的極限,所以可以應用商函數極限的運算法則:

性質 5(複合函數極限法則):
設函數。函數趨於某一點時有極限:,函數趨於點時有極限:。那麼:複合函數趨於點時有極限

有了極限的四則運算法則和複合函數的極限法則,我們就可以計算大部分初等函數的極限。

例六

求函數趨於時的極限。

這裡的函數是一個複合函數:,其中的兩個函數是。利用性質 5中的法則,我們可以將復和函數的極限拆分:

無窮小和無窮大[編輯]

無窮小是早期微積分中難以處理的一個概念。對無窮小的批判引發了第二次數學危機。隨著柯西等人的努力,我們對極限和無窮小的認識逐漸加深。在現今的標準分析中,無窮小被定義為一類函數和數列。如果某個數列的極限是,那麼稱其為無窮小。如果某個函數在趨於某點(或無窮大)時極限為,那麼就稱這個函數是在這一點(無窮大)附近的無窮小。也就是說,無窮小並不是一個數值,也不是一個過程,而是一種函數或數列。某個函數在某一點是無窮小,但在另一點不一定是無窮小。比如函數,函數趨於時的極限是,所以附近的無窮小。但趨於時的極限是,所以不是附近的無窮小。

無窮大的概念建立在無窮小的概念上。如果一個函數的倒數是(某點附近)的無窮小,那麼它就是(某點附近)的無窮大。同樣地,如果某個數列是無窮小,那麼數列就是無窮大。

經過極限的四則運算法則,可以知道:若干個無窮小的和與差仍然是無窮小,常數乘以無窮小仍然是無窮小,若干個無窮小的乘積仍然是無窮小,有界函數或數列和無窮小的乘積是無窮小。

無窮小是函數或數列的一種,但無窮小也有不同的種類。根據無窮小趨向的速度(收斂速度),可以將無窮小分成不同的「階」。如果一個無窮小趨向的速度比另一個快,就說它是後者的高階無窮小,反之則稱其為後者的低階無窮小。用數學形式表達,就是:設函數是某一點附近的(非零)無窮小,

如果,那麼稱的高階無窮小,的低階無窮小,記為
如果,那麼稱的同階無窮小,記為
如果,那麼稱的等階無窮小,記為
如果,那麼稱的等價無窮小,記為

利用等價無窮小可以簡化不少求極限的計算。以下是一些等價無窮小:

例七

求函數趨於時的極限。

可以看做是兩個無窮小的乘積除以一個無窮小的商。分別用相應的無窮小代替,就可以得到:

要注意的是,只有在乘除法時才適用等價無窮小來代換,將兩個無窮小的和或差用等價無窮小來代替會產生錯誤的結果。比如求函數趨於時的極限,如果將等都用它們的等價無窮小代替,就會變成

但實際上結果不是。關於無窮小和函數(或數列)的極限有如下關係:

性質 6(極限與無窮小的關係):
如果函數在某點或無窮遠處的極限(數列的極限)存在(無論是一個確定的數值還是無窮大),那麼它可以表示成一個常數與一個無窮小的和。


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