泰勒級數
函數的泰勒級數或泰勒展開式為
及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13階泰勒展開式的圖像
其中為的階乘,為在的階導數。若,級數又稱麥克勞林級數。
通常情況下,這一級數收斂於,但需要注意的是,有些無限可導函數的泰勒級數也收斂,但並不等於。例如,分段函數在的各階導數均為0,所以的麥克勞林級數為0,收斂半徑為無窮大,但函數值顯然並不是0。
假設我們想要將函數表示為無窮冪級數,即:
其中為收斂半徑,為係數。用求和符號來表示,就是
接下來我們要求出各項的係數。顯然
於是得出。至於其它項,我們把等式兩邊求導可得
把代入得
求二階導,我們又可以得到,即
再把代入得
繼續求導,又能得到
再把代入得
以此類推,求 次導可得
即
其中,,以此類推。代入前面的這個式子
可以得到
以下列出幾個重要的泰勒展開式。
指數函數和自然對數:
幾何級數:
二項式級數:
三角函數:
雙曲函數:
朗伯W函數:
其中為伯努利數,為二項式係數,為歐拉數。
求以下函數的麥克勞林級數
已知自然對數
和餘弦函數
我們可以直接把第二個級數代入第一個,得到
運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為
求以下函數的麥克勞林級數
已知指數函數
和餘弦函數
設待求級數為
等號兩邊同時乘分母並代換得
|
|
|
|
|
|
合併同類項得
與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為