泰勒級數
函數
的泰勒級數或泰勒展開式為
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c116d3aee442eca69ccfaa86b4ac2f1466ae20)
![As the degree of the Taylor series rises, it approaches the correct function.](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3d/Sintay.png/201px-Sintay.png)
及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13階泰勒展開式的圖像
其中
為
的階乘,
為
在
的
階導數。若
,級數又稱麥克勞林級數。
通常情況下,這一級數收斂於
,但需要注意的是,有些無限可導函數
的泰勒級數也收斂,但並不等於
。例如,分段函數
在
的各階導數均為0,所以
的麥克勞林級數為0,收斂半徑為無窮大,但函數值顯然並不是0。
假設我們想要將函數表示為無窮冪級數,即:
![{\displaystyle f(x)={c_{0}}(x-a)^{0}+c_{1}(x-a)^{1}+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+\cdots +c_{n}(x-a)^{n}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d125f599481a2f3d7779b2e3db3e46b5d72ca9)
其中
為收斂半徑,
為係數。用求和符號來表示,就是
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9f34c2840b84d1591655aa8a5387ac60b319b6)
接下來我們要求出各項的係數。顯然
![{\displaystyle f(a)=c_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcca9d6a40b9d90888d24b2f2fd71a97912cfce)
於是得出
。至於其它項,我們把等式兩邊求導可得
![{\displaystyle f'(x)=c_{1}(x-a)^{0}+2c_{2}(x-a)^{1}+3c_{3}(x-a)^{2}+4c_{4}(x-a)^{3}+\cdots +nc_{n}(x-a)^{(n-1)}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b81a4d72b4a1bee70486317f06367e0d27a5df)
把
代入得
![{\displaystyle f'(a)=c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f408d034bb44788a87630ed25982889c7ebec63b)
求二階導,我們又可以得到
,即
![{\displaystyle f''(x)=2c_{2}+(2\times 3)c_{3}(x-a)^{1}+(3\times 4)c_{4}(x-a)^{2}+\cdots +(n)(n-1)c_{n}(x-a)^{(n-2)}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d23789e9cce32b74e17a7bae4026e22eba99725)
再把
代入得
![{\displaystyle f''(a)=2c_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864864a59790ce177f7616ce3e12f2010f59f548)
繼續求導,又能得到
![{\displaystyle f'''(x)=(2\times 3)c_{3}(x-a)^{0}+(2\times 3\times 4)c_{4}(x-a)^{1}+(3\times 4\times 5)c_{5}(x-a)^{2}+\cdots +(n)(n-1)(n-2)c_{n}(x-a)^{n-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b607fee2f0b51f9482322238b35b694771e379)
再把
代入得
![{\displaystyle f'''(a)=(2\times 3)c_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e023966c31aabd5146490cd16ed6bd04ffabfe0)
以此類推,求
次導可得
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(a)=n!\times c_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f7fa9225c92a4f43db35deaa3412a5cd2dc746)
即
![{\displaystyle c_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975dd7523941c3a2426baf5c3c89aef82dcff31e)
其中
,
,以此類推。代入前面的這個式子
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9f34c2840b84d1591655aa8a5387ac60b319b6)
可以得到
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e81e017c11c290f517cd96b8da726055d013f96)
以下列出幾個重要的泰勒展開式。
指數函數和自然對數:
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\text{对 任 意 }}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aebbcb7d30df64a69ed514fff6b9d3980cd1bf9e)
![{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f5d5147c96b377d521f1443235baaefbff8f87)
幾何級數:
![{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec0e03449e24735c4d69f33bc91e9ca9422d5ae)
二項式級數:
![{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ff60e23d25c91be307da630fa14ed8c22513dae)
三角函數:
![{\displaystyle \sin x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}}x^{2n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3ca4f0cf995f89ae591218dac32351bd828aaf)
![{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7b88c786a7c52c8a1307b4ccff846344cc96c9)
![{\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ac821c20649e0bf321b51138ece3b933b4f3f5)
![{\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4df8a37ecf55558ae1cc84522b6589b3642b86)
![{\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89673545407f88127316df7f83755024af7e678)
![{\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436ebdaf257382c0f8fa98aa72ef397fdf843775)
雙曲函數:
![{\displaystyle \sinh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\quad {\text{对 任 意 }}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa7b0e82ecdff5e9491fec9f20e7eaf45a3d2bb)
![{\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\quad {\text{对 任 意 }}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0c7350c23695a1f48df2e8abf952db6012facd)
![{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c865d5d653ac572f09aa4b17fc04b2bcb474b0ba)
![{\displaystyle {\rm {arsinh}}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d709b5438a5cd71139cb6bb887d6a2adadc531ea)
![{\displaystyle {\rm {artanh}}x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{2n-1}}\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d127a044fdb758a12e53c2f5ac246292b9495092)
朗伯W函數:
![{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad |x|<{\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b251682787d446bf3b4ae801413cef1f1b1cb8d1)
其中
為伯努利數,
為二項式係數,
為歐拉數。
求以下函數的麥克勞林級數
![{\displaystyle f(x)=\ln {\big (}1+\cos x{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7708a78b4de9a18ac2b00fda25d4b1dde6ad98)
已知自然對數
![{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241cf321e4a6e01c1361cc5521276d0bf7044b9f)
和餘弦函數
![{\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad {\text{对 任 意 }}x\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ad0cc21de434f43bda45a713024d3bed4d8a6ac)
我們可以直接把第二個級數代入第一個,得到
![{\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)^{3}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b70a3f4e0536daa3caab7050a7faefca9203f8)
運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為
![{\displaystyle \ln {\big (}1+\cos x{\big )}=\ln 2-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x^{4}}{96}}-{\frac {x^{6}}{1440}}-{\frac {17x^{8}}{322560}}-{\frac {31x^{10}}{7257600}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35736740a779740c81e848c7e4b36e65854fdeb)
求以下函數的麥克勞林級數
![{\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f438ccdbe6d9a178c9d4a61b0201bda516d15c4c)
已知指數函數
![{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f1872dfb4c0917b0d76e5ffc1e71be4b25257fd)
和餘弦函數
![{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc22d858de52ba5103e7ffa5da751b5fe843a46)
設待求級數為
![{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca4916bab4eb4c567bbefeee7a1549909a17b801)
等號兩邊同時乘分母並代換得
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合併同類項得
![{\displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}+{\frac {c_{0}}{4!}}-{\frac {c_{2}}{2}}\right)x^{4}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae1077b1bd51d8c08bb38968a77bdcd3c692052)
與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為
![{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45003bac9db8d40cc025997c04d9fbf09001438)