泰勒级数
函数的泰勒级数或泰勒展开式为
及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13阶泰勒展开式的图像
其中为的阶乘,为在的阶导数。若,级数又称麦克劳林级数。
通常情况下,这一级数收敛于,但需要注意的是,有些无限可导函数的泰勒级数也收敛,但并不等于。例如,分段函数在的各阶导数均为0,所以的麦克劳林级数为0,收敛半径为无穷大,但函数值显然并不是0。
假设我们想要将函数表示为无穷幂级数,即:
其中为收敛半径,为系数。用求和符号来表示,就是
接下来我们要求出各项的系数。显然
于是得出。至于其它项,我们把等式两边求导可得
把代入得
求二阶导,我们又可以得到,即
再把代入得
继续求导,又能得到
再把代入得
以此类推,求 次导可得
即
其中,,以此类推。代入前面的这个式子
可以得到
以下列出几个重要的泰勒展开式。
指数函数和自然对数:
幾何級數:
二项式级数:
三角函数:
双曲函数:
朗伯W函数:
其中为伯努利數,为二項式係數,为欧拉数。
求以下函数的麦克劳林级数
已知自然对数
和余弦函数
我们可以直接把第二个级数代入第一个,得到
运用多项式定理展开即可得麦克劳林级数为
求以下函数的麦克劳林级数
已知指数函数
和余弦函数
设待求级数为
等号两边同时乘分母并代换得
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合并同类项得
与指数函数的麦克劳林级数比较可得待求级数为