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微积分学/泰勒级数

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泰勒级数[编辑]

泰勒级数

函数泰勒级数泰勒展开式

As the degree of the Taylor series rises, it approaches the correct function.及其1, 3, 5, 7, 9, 1113阶泰勒展开式的图像

其中的阶乘,阶导数。若,级数又称麦克劳林级数

通常情况下,这一级数收敛于,但需要注意的是,有些无限可导函数的泰勒级数也收敛,但并不等于。例如,分段函数的各阶导数均为0,所以的麦克劳林级数为0,收敛半径为无穷大,但函数值显然并不是0。

原理[编辑]

假设我们想要将函数表示为无穷幂级数,即:

其中为收敛半径,为系数。用求和符号来表示,就是

接下来我们要求出各项的系数。显然

于是得出。至于其它项,我们把等式两边求导可得

代入得

求二阶导,我们又可以得到,即

再把代入得

继续求导,又能得到

再把代入得

以此类推,求 次导可得

其中,以此类推。代入前面的这个式子

可以得到

泰勒级数列表[编辑]

以下列出几个重要的泰勒展开式。

指数函数和自然对数:

幾何級數:

二项式级数:

三角函数:

双曲函数:

朗伯W函数:

其中为伯努利數,为二項式係數,为欧拉数。

例题[编辑]

例1[编辑]

求以下函数的麦克劳林级数

解答[编辑]

已知自然对数

和余弦函数

我们可以直接把第二个级数代入第一个,得到

运用多项式定理展开即可得麦克劳林级数为

例2[编辑]

求以下函数的麦克劳林级数

解答[编辑]

已知指数函数

和余弦函数

设待求级数为

等号两边同时乘分母并代换得

合并同类项得

与指数函数的麦克劳林级数比较可得待求级数为