泰勒級數
函數
的泰勒級數或泰勒展開式為


及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13階泰勒展開式的圖像
其中
為
的階乘,
為
在
的
階導數。若
,級數又稱麥克勞林級數。
通常情況下,這一級數收斂於
,但需要注意的是,有些無限可導函數
的泰勒級數也收斂,但並不等於
。例如,分段函數
在
的各階導數均為0,所以
的麥克勞林級數為0,收斂半徑為無窮大,但函數值顯然並不是0。
假設我們想要將函數表示為無窮冪級數,即:

其中
為收斂半徑,
為系數。用求和符號來表示,就是

接下來我們要求出各項的系數。顯然

於是得出
。至於其它項,我們把等式兩邊求導可得

把
代入得

求二階導,我們又可以得到
,即

再把
代入得

繼續求導,又能得到

再把
代入得

以此類推,求
次導可得

即

其中
,
,以此類推。代入前面的這個式子

可以得到

以下列出幾個重要的泰勒展開式。
指數函數和自然對數:


幾何級數:

二項式級數:

三角函數:






雙曲函數:





朗伯W函數:

其中
為伯努利數,
為二項式系數,
為歐拉數。
求以下函數的麥克勞林級數

已知自然對數

和餘弦函數

我們可以直接把第二個級數代入第一個,得到

運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為

求以下函數的麥克勞林級數

已知指數函數

和餘弦函數

設待求級數為

等號兩邊同時乘分母並代換得
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合併同類項得

與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為
