微積分學/泰勒級數

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泰勒級數[編輯]

泰勒級數

函數泰勒級數泰勒展開式

As the degree of the Taylor series rises, it approaches the correct function.及其1, 3, 5, 7, 9, 1113階泰勒展開式的圖像

其中的階乘,階導數。若,級數又稱麥克勞林級數

通常情況下,這一級數收斂於,但需要注意的是,有些無限可導函數的泰勒級數也收斂,但並不等於。例如,分段函數的各階導數均為0,所以的麥克勞林級數為0,收斂半徑為無窮大,但函數值顯然並不是0。

原理[編輯]

假設我們想要將函數表示為無窮冪級數,即:

其中為收斂半徑,為系數。用求和符號來表示,就是

接下來我們要求出各項的系數。顯然

於是得出。至於其它項,我們把等式兩邊求導可得

代入得

求二階導,我們又可以得到,即

再把代入得

繼續求導,又能得到

再把代入得

以此類推,求 次導可得

其中,以此類推。代入前面的這個式子

可以得到

泰勒級數列表[編輯]

以下列出幾個重要的泰勒展開式。

指數函數和自然對數:

幾何級數:

二項式級數:

三角函數:

雙曲函數:

朗伯W函數:

其中為伯努利數,為二項式系數,為歐拉數。

例題[編輯]

例1[編輯]

求以下函數的麥克勞林級數

解答[編輯]

已知自然對數

和餘弦函數

我們可以直接把第二個級數代入第一個,得到

運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為

例2[編輯]

求以下函數的麥克勞林級數

解答[編輯]

已知指數函數

和餘弦函數

設待求級數為

等號兩邊同時乘分母並代換得

合併同類項得

與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為