代數/本書課文/求和/多項式公比求和

多項式公比求和，多項式$p(k)$乘上等比數列$q^{k-1}$的求和，即$\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$

公比q等於1時就只是多項式求和。

特殊情況

當$p(k)=1$時，是等比數列求和：$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}q^{k-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

當多項式$p(k)$為等差數列時，即一次多項式時，是差比數列求和：$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]r^{n}-[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}]$

求和方法

錯位相減法

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設$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}$，乘上公比得到$qS_{n}=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k}$

$(1-q)S_{n}=\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}-\sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k}$

每一次錯位相減會對多項式進行一次差分，一個m階多項式進行差分後是m-1階多項式，所以可以在有限步內用錯位相減法求出多項式公比求和。

逐項求導

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設$\displaystyle S(n,m)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}q^{k-1},S(n,0)={\frac {q^{n}-1}{q-1}}$

兩邊對q求導：$\displaystyle {\frac {d[qS(n,m)]}{dq}}=\sum _{k=1}^{n}k^{m+1}q^{k-1}=S(n,m+1)$

由此可以遞推出m階多項式的多項式公比求和。

裂項法

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對數列做裂項：$p(k)q^{k-1}=f(k)q^{k}-f(k-1)q^{k-1}$

其中若$p(k)$是m階多項式，則$f(k)$是m階多項式，$f(k)$用待定系數法求出來。

差分算子公式

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0),f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum _{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)$

其中$\Delta p(n)=p(n+1)-p(n),m=deg(p(k))$

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無窮級數

級數$\sum _{k=1}^{\infty }p(k)q^{k-1}$在$|q|<1$時是收斂的。

多重對數函數

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.$

所以這個級數可以表達成多重對數函數：$\sum _{k=1}^{\infty }{k^{m}z^{k}}=\operatorname {Li} _{-m}(z)$

等比級數

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots$

兩邊逐項求導，得到：$\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\quad ,|x|<1.$

求m次導，得到：$\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}^{m}x^{n-m}={\frac {m!}{(1-x)^{m+1}}}\quad ,|x|<1.$