倍長中線法

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定義[編輯]

把一個三角形里的中線延長至原來的一半,構造全等三角形

用法[編輯]

在一個三角形里,有中線,要求證明和差關係,80%的情況要用倍長中線法,20%的情況用一般方法。

例題[編輯]

倍長中線法例圖

例1:如圖(上),在△ABC中,AB=2AC,AD平分BC,AD⊥AC,求∠BAC的度數。

解:∠BAC=120,理由如下:

延長DA,使DA=DE,連接BE。

因為D是中點

從而△ADC≌△BDE(SAS)

從而∠E=∠EAC=90,BE=AC

因為AB=2AC

從而 1/2AB=BE

從而∠BAE=30(在直角三角形中,如果有一個角等於30°,那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半)

從而∠BAC

=∠BAE+∠EAC

=30+90

=120

例2:如圖(下),在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中線AD的取值範圍。

解:延長AD至AE,交BC於D,使DE=AD。連接EC。

因為點D是中點

所以△ABD≌△CDE(SAS)

由題意:AC+EC>AE>AC-EC,AB=EC=5a,AC=3a。

所以AE的取值範圍為:即8a>AE>2a

由題意:AE=2AD

所以4a>AD>a