國中數學/因式分解

參見：Wikipedia:因式分解

多項式的因式分解是將一個非零多項式寫成兩個或多個因式的乘積。

如：$x^{2}+x=x(x+1)$，$x(x+1)$稱作$x^{2}+x$的因式分解。

因式

定義

設三個多項式$A$、$B$、$C$滿足$A$×$B$＝$C$，則稱$A$、$B$為$C$的因式。

如：$(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2$，所以$x+1$、$x-2$都是$x^{2}-x-2$的因式。

因式的判斷

參見：多項式的除法

若多項式$C$除以多項式$A$的餘式為$0$，則我們稱$A$為$C$的因式。

如：$(x^{2}+4x+3)$÷$(x+1)$的商式為$x+3$，餘式為$0$，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式。

習題

判斷$x+2$是不是$x^{2}-7x+10$的因式。

答案

不是 解析 因為$(x^{2}-7x+10)$÷$(x+2)$的商式為$x-9$，餘式為$28$ 餘式不是$0$，故$x+2$不是$x^{2}-7x+10$的因式。

公因式

若多項式$A$是多項式$C$的因式，也是多項式$D$的因式，則我們稱多項式$A$是多項式$C$、$D$的公因式。

如：$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，$x+1$也是$x^{2}-x-2$的因式，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$與$x^{2}-x-2$的公因式。

習題

已知$x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5)$，$x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)$，則以下四個多項式中，哪一個是$x^{2}+6x+5$與$x^{2}+7x+10$的公因式？

$x+1$、$x+2$、$x+5$、$x-5$

答案

$x+5$

注意

1.若$c$是任意一個非零常數，則$c$是一個多項式，而且若$A$是一個多項式，則${\frac {1}{c}}A$也是一個多項式。

又因為$A$＝$c$×$({\frac {1}{c}}A)$，所以$c$與${\frac {1}{c}}A$都是多項式$A$的因式。

故任意一個非零常數、多項式$A$的常數倍都是多項式$A$的因式。

例子：$2(x^{2}+x-2)$、${\frac {2}{5}}(x^{2}+x-2)$、$\pi$(圓周率)都是$x^{2}+x-2$的因式。

2.若三個多項式$A$、$B$、$C$滿足$A$×$B$＝$C$，則對於一個非零常數$c$，$C$＝$(cA)$×$({\frac {1}{c}}B)$，所以若多項式$A$為多項式$C$的因式，則多項式$A$的常數倍也是多項式$C$的因式。

例子：因為$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，所以$2x+2=2(x+1)$、${\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{5}}={\frac {2}{5}}(x+1)$也是$x^{2}+4x+3$的因式。

因式分解的方法

提出公因式

找出多個式子當中的最高次數公因式，並利用分配律將此公因式提出合併的方法。

例題1

因式分解$3x^{2}+4x$。

解：$3x^{2}$和$4x$都有公因式$x$，故提出$x$：

$3x^{2}+4x=x$‧$(3x)+x$‧$4=x(3x+4)$

注意：

1. 如果系數有公因數的時候可以把它提出去。如雖然$4x^{2}+6x=x(4x+6)$，不過$4x+6$的系數$4$與$6$有公因數$2$，故可以將$2$提出，得到$4x^{2}+6x=2x(2x+3)$。
2. 除非有特別要求，一般來說，因式的各項系數都要為整數。

習題

因式分解$5x^{3}-15x^{2}$。

答案

$5x^{2}(x-3)$ 解析 因為$5x^{3}$與$15x^{2}$有公因式$5x^{2}$，故提出$5x^{2}$： $5x^{3}-15x^{2}=5x^{2}$‧$x-5x^{2}$‧$3=5x^{2}(x-3)$。

例題2

因式分解$(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)$。

解：$(x+7)(5-2x)$可以改寫成$-(x+7)(2x-5)$，

$(3x+1)(2x-5)$和$-(x+7)(2x-5)$都有公因式$2x-5$，故提出$2x-5$：

$(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)=(2x-5)[(3x+1)-(x+7)]=(2x-5)(2x-6)=2(x-3)(2x-5)$

習題

因式分解$(x+3)(x-1)^{2}+(x+3)^{2}(x-1)$。

答案

$2(x+3)(x-1)(x+1)$ 解析 因為$(x+3)(x-1)^{2}$與$(x+3)^{2}(x-1)$有公因式$(x+3)(x-1)$，故提出$(x+3)(x-1)$： $(x+3)(x-1)^{2}+(x+3)^{2}(x-1)=(x+3)(x-1)[(x+3)+(x-1)]=(x+3)(x-1)(2x+2)$ 又因為$2x+2$都有公因式$2$，故再提出$2$，原式$=2(x+3)(x-1)(x+1)$

分組分解

$ax+bx+ay+by$彼此之間並沒有公因式，但是如果分成兩個部分

$(ax+bx)+(ay+by)$

則$ax+bx$可以改寫成$x(a+b)$；$ay+by$可以改寫成$y(a+b)$

這時有公因式$(a+b)$，可以提出$(a+b)$這個公因式：

$ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

習題

因式分解$x^{3}-2x^{2}+3x-6$。

答案

$(x-2)(x^{2}+3)$ 解析 $x^{3}-2x^{2}+3x-6=(x^{3}-2x^{2})+(3x-6)=x^{2}(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x^{2}+3)$。

利用乘法公式

主要利用乘法公式來進行因式分解的方法。

利用$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$進行因式分解

因式分解$4x^{2}+12x+9$。

解：因為$4x^{2}=(2x)^{2}$，$12x=2$‧$(2x)$‧$3$，$9=3^{2}$

故$4x^{2}+12x+9=(2x)^{2}+2$‧$(2x)$‧$3+3^{2}=(2x+3)^{2}$

利用$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$進行因式分解

因式分解$9x^{2}-30x+25$。

解：因為$9x^{2}=(3x)^{2}$，$30x=2$‧$(3x)$‧$5$，$25=5^{2}$

故$9x^{2}-30x+25=(3x)^{2}-2$‧$(3x)$‧$5+5^{2}=(3x-5)^{2}$

利用$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$進行因式分解

因式分解$49x^{2}-36y^{2}$。

解：因為$49x^{2}=(7x)^{2}$，$36y^{2}=(6y)^{2}$

故$49x^{2}-36y^{2}=(7x)^{2}-(6y)^{2}=(7x+6y)(7x-6y)$

十字交乘法

若$ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s)$，則因為$(px+q)(rx+s)=(pr)x^{2}+(ps+qr)x+(qs)$，所以$a=pr$，$b=ps+qr$，$c=qs$。

$(px)(rx)=ax^{2}$	$qs=c$
$px$	$+q$
$rx$	$+s$
$psx+qrx=(ps+qr)x=bx$

例題1

因式分解$x^{2}+5x-14$。

利用十字交乘法因式分解$x^{2}+5x-14$

解：$-14$可以分解成$1$×$(-14)$、$2$×$(-7)$、$7$×$(-2)$與$14$×$(-1)$，但只有$7$×$(-2)$可以符合：

$x^{2}$	$-14$
$x$	$+7$
$x$	$-2$
$-2x+7x=5x$

所以$x^{2}+5x-14=(x+7)(x-2)$。

例題2

因式分解$6x^{2}+5x-6$。

解：

利用十字交乘法因式分解$6x^{2}+5x-6$

$6$可以分解成$1$×$6$、$2$×$3$，而$-6$可以分解成$1$×$(-6)$、$2$×$(-3)$、$3$×$(-2)$與$6$×$(-1)$，但只有$2$×$3$與$3$×$(-2)$配可以符合：

$6x^{2}$	$-6$
$2x$	$+3$
$3x$	$-2$
$-4x+9x=5x$

所以$6x^{2}+5x-6=(2x+3)(3x-2)$。

例題3

因式分解$2x^{2}+xy-6y^{2}$。

解： $2$可以分解成$1$×$2$，而$-6$可以分解成$1$×$(-6)$、$2$×$(-3)$、$3$×$(-2)$與$6$×$(-1)$，但只有$1$×$2$與$2$×$(-3)$配可以符合：

$2x^{2}$	$-6y^{2}$
$x$	$+2y$
$2x$	$-3y$
$-3xy+4xy=xy$

所以$2x^{2}+xy-6y^{2}=(x+2y)(2x-3y)$。

因式分解的技巧與應用

代換法

將一直重複的式子利用其他變數(如$A$、$B$、……等等)代換，先進行因式分解，再將原本的式子代回的方式。

例題

因式分解$(x+y)(x+y+1)-12$。

解：

因為重複出現$x+y$，所以令$A=x+y$。

原式可以改寫成$A(A+1)-12=A^{2}+A-12=(A-3)(A+4)$

最後將$A=x+y$代回，得到原式$=(x+y-3)(x+y+4)$

補項扣項法

通常是補上再扣掉一個式子使之可以利用分組分解或是乘法公式進行因式分解的方法。

例題

因式分解$x^{4}+4$。

解：

$x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}=(x^{2})^{2}+2$×$x^{2}$×$2+2^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$

首項系數為負數

先將負號提出去，再進行因式分解的方法。

例題

因式分解$-2x^{2}+7x-3$。

解：

$-2x^{2}+7x-3$

• $=-(2x^{2}-7x+3)$
• $=-(2x-1)(x-3)$

系數為分數或小數

先將分數部分提出去，再進行因式分解的方法。

而小數部分可以先化成分數，再仿照上述方式進行因式分解。

例題

因式分解${\frac {1}{3}}x^{2}+2x+3$。

解：

${\frac {1}{3}}x^{2}+2x+3$

• $={\frac {1}{3}}(x^{2}+6x+9)$
• $={\frac {1}{3}}(x^{2}+2$×$x$×$3+3^{2})$
• $={\frac {1}{3}}(x+3)^{2}$

使用兩種以上的因式分解方法

因式分解$x^{2}+2y^{2}+3xy+4x+8y$。

解：

$x^{2}+2y^{2}+3xy+4x+8y$

• $=(x^{2}+3xy+2y^{2})+(4x+8y)$(分組)
• $=(x+y)(x+2y)+4(x+2y)$(十字交乘&提出公因式)
• $=(x+2y)(x+y+4)$(提出公因式$x+2y$，完畢)