国中数学/因式分解

参见：Wikipedia:因式分解

多项式的因式分解是将一个非零多项式写成两个或多个因式的乘积。

如：$x^{2}+x=x(x+1)$，$x(x+1)$称作$x^{2}+x$的因式分解。

因式

定义

设三个多项式$A$、$B$、$C$满足$A$×$B$＝$C$，则称$A$、$B$为$C$的因式。

如：$(x+1)(x-2)=x^{2}-x-2$，所以$x+1$、$x-2$都是$x^{2}-x-2$的因式。

因式的判断

参见：多项式的除法

若多项式$C$除以多项式$A$的余式为$0$，则我们称$A$为$C$的因式。

如：$(x^{2}+4x+3)$÷$(x+1)$的商式为$x+3$，余式为$0$，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式。

习题

判断$x+2$是不是$x^{2}-7x+10$的因式。

答案

不是 解析 因为$(x^{2}-7x+10)$÷$(x+2)$的商式为$x-9$，余式为$28$ 余式不是$0$，故$x+2$不是$x^{2}-7x+10$的因式。

公因式

若多项式$A$是多项式$C$的因式，也是多项式$D$的因式，则我们称多项式$A$是多项式$C$、$D$的公因式。

如：$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，$x+1$也是$x^{2}-x-2$的因式，所以$x+1$是$x^{2}+4x+3$与$x^{2}-x-2$的公因式。

习题

已知$x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5)$，$x^{2}+7x+10=(x+2)(x+5)$，则以下四个多项式中，哪一个是$x^{2}+6x+5$与$x^{2}+7x+10$的公因式？

$x+1$、$x+2$、$x+5$、$x-5$

答案

$x+5$

注意

1.若$c$是任意一个非零常数，则$c$是一个多项式，而且若$A$是一个多项式，则${\frac {1}{c}}A$也是一个多项式。

又因为$A$＝$c$×$({\frac {1}{c}}A)$，所以$c$与${\frac {1}{c}}A$都是多项式$A$的因式。

故任意一个非零常数、多项式$A$的常数倍都是多项式$A$的因式。

例子：$2(x^{2}+x-2)$、${\frac {2}{5}}(x^{2}+x-2)$、$\pi$(圆周率)都是$x^{2}+x-2$的因式。

2.若三个多项式$A$、$B$、$C$满足$A$×$B$＝$C$，则对于一个非零常数$c$，$C$＝$(cA)$×$({\frac {1}{c}}B)$，所以若多项式$A$为多项式$C$的因式，则多项式$A$的常数倍也是多项式$C$的因式。

例子：因为$x+1$是$x^{2}+4x+3$的因式，所以$2x+2=2(x+1)$、${\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{5}}={\frac {2}{5}}(x+1)$也是$x^{2}+4x+3$的因式。

因式分解的方法

提出公因式

找出多个式子当中的最高次数公因式，并利用分配律将此公因式提出合并的方法。

例题1

因式分解$3x^{2}+4x$。

解：$3x^{2}$和$4x$都有公因式$x$，故提出$x$：

$3x^{2}+4x=x$‧$(3x)+x$‧$4=x(3x+4)$

注意：

1. 如果系数有公因数的时候可以把它提出去。如虽然$4x^{2}+6x=x(4x+6)$，不过$4x+6$的系数$4$与$6$有公因数$2$，故可以将$2$提出，得到$4x^{2}+6x=2x(2x+3)$。
2. 除非有特别要求，一般来说，因式的各项系数都要为整数。

习题

因式分解$5x^{3}-15x^{2}$。

答案

$5x^{2}(x-3)$ 解析 因为$5x^{3}$与$15x^{2}$有公因式$5x^{2}$，故提出$5x^{2}$： $5x^{3}-15x^{2}=5x^{2}$‧$x-5x^{2}$‧$3=5x^{2}(x-3)$。

例题2

因式分解$(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)$。

解：$(x+7)(5-2x)$可以改写成$-(x+7)(2x-5)$，

$(3x+1)(2x-5)$和$-(x+7)(2x-5)$都有公因式$2x-5$，故提出$2x-5$：

$(3x+1)(2x-5)+(x+7)(5-2x)=(2x-5)[(3x+1)-(x+7)]=(2x-5)(2x-6)=2(x-3)(2x-5)$

习题

因式分解$(x+3)(x-1)^{2}+(x+3)^{2}(x-1)$。

答案

$2(x+3)(x-1)(x+1)$ 解析 因为$(x+3)(x-1)^{2}$与$(x+3)^{2}(x-1)$有公因式$(x+3)(x-1)$，故提出$(x+3)(x-1)$： $(x+3)(x-1)^{2}+(x+3)^{2}(x-1)=(x+3)(x-1)[(x+3)+(x-1)]=(x+3)(x-1)(2x+2)$ 又因为$2x+2$都有公因式$2$，故再提出$2$，原式$=2(x+3)(x-1)(x+1)$

分组分解

$ax+bx+ay+by$彼此之间并没有公因式，但是如果分成两个部分

$(ax+bx)+(ay+by)$

则$ax+bx$可以改写成$x(a+b)$；$ay+by$可以改写成$y(a+b)$

这时有公因式$(a+b)$，可以提出$(a+b)$这个公因式：

$ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$

习题

因式分解$x^{3}-2x^{2}+3x-6$。

答案

$(x-2)(x^{2}+3)$ 解析 $x^{3}-2x^{2}+3x-6=(x^{3}-2x^{2})+(3x-6)=x^{2}(x-2)+3(x-2)=(x-2)(x^{2}+3)$。

利用乘法公式

主要利用乘法公式来进行因式分解的方法。

利用$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$进行因式分解

因式分解$4x^{2}+12x+9$。

解：因为$4x^{2}=(2x)^{2}$，$12x=2$‧$(2x)$‧$3$，$9=3^{2}$

故$4x^{2}+12x+9=(2x)^{2}+2$‧$(2x)$‧$3+3^{2}=(2x+3)^{2}$

利用$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$进行因式分解

因式分解$9x^{2}-30x+25$。

解：因为$9x^{2}=(3x)^{2}$，$30x=2$‧$(3x)$‧$5$，$25=5^{2}$

故$9x^{2}-30x+25=(3x)^{2}-2$‧$(3x)$‧$5+5^{2}=(3x-5)^{2}$

利用$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$进行因式分解

因式分解$49x^{2}-36y^{2}$。

解：因为$49x^{2}=(7x)^{2}$，$36y^{2}=(6y)^{2}$

故$49x^{2}-36y^{2}=(7x)^{2}-(6y)^{2}=(7x+6y)(7x-6y)$

十字交乘法

若$ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s)$，则因为$(px+q)(rx+s)=(pr)x^{2}+(ps+qr)x+(qs)$，所以$a=pr$，$b=ps+qr$，$c=qs$。

$(px)(rx)=ax^{2}$	$qs=c$
$px$	$+q$
$rx$	$+s$
$psx+qrx=(ps+qr)x=bx$

例题1

因式分解$x^{2}+5x-14$。

利用十字交乘法因式分解$x^{2}+5x-14$

解：$-14$可以分解成$1$×$(-14)$、$2$×$(-7)$、$7$×$(-2)$与$14$×$(-1)$，但只有$7$×$(-2)$可以符合：

$x^{2}$	$-14$
$x$	$+7$
$x$	$-2$
$-2x+7x=5x$

所以$x^{2}+5x-14=(x+7)(x-2)$。

例题2

因式分解$6x^{2}+5x-6$。

解：

利用十字交乘法因式分解$6x^{2}+5x-6$

$6$可以分解成$1$×$6$、$2$×$3$，而$-6$可以分解成$1$×$(-6)$、$2$×$(-3)$、$3$×$(-2)$与$6$×$(-1)$，但只有$2$×$3$与$3$×$(-2)$配可以符合：

$6x^{2}$	$-6$
$2x$	$+3$
$3x$	$-2$
$-4x+9x=5x$

所以$6x^{2}+5x-6=(2x+3)(3x-2)$。

例题3

因式分解$2x^{2}+xy-6y^{2}$。

解： $2$可以分解成$1$×$2$，而$-6$可以分解成$1$×$(-6)$、$2$×$(-3)$、$3$×$(-2)$与$6$×$(-1)$，但只有$1$×$2$与$2$×$(-3)$配可以符合：

$2x^{2}$	$-6y^{2}$
$x$	$+2y$
$2x$	$-3y$
$-3xy+4xy=xy$

所以$2x^{2}+xy-6y^{2}=(x+2y)(2x-3y)$。

因式分解的技巧与应用

代换法

将一直重复的式子利用其他变数(如$A$、$B$、……等等)代换，先进行因式分解，再将原本的式子代回的方式。

例题

因式分解$(x+y)(x+y+1)-12$。

解：

因为重复出现$x+y$，所以令$A=x+y$。

原式可以改写成$A(A+1)-12=A^{2}+A-12=(A-3)(A+4)$

最后将$A=x+y$代回，得到原式$=(x+y-3)(x+y+4)$

补项扣项法

通常是补上再扣掉一个式子使之可以利用分组分解或是乘法公式进行因式分解的方法。

例题

因式分解$x^{4}+4$。

解：

$x^{4}+4=x^{4}+4x^{2}+4-4x^{2}=(x^{2})^{2}+2$×$x^{2}$×$2+2^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$

首项系数为负数

先将负号提出去，再进行因式分解的方法。

例题

因式分解$-2x^{2}+7x-3$。

解：

$-2x^{2}+7x-3$

• $=-(2x^{2}-7x+3)$
• $=-(2x-1)(x-3)$

系数为分数或小数

先将分数部分提出去，再进行因式分解的方法。

而小数部分可以先化成分数，再仿照上述方式进行因式分解。

例题

因式分解${\frac {1}{3}}x^{2}+2x+3$。

解：

${\frac {1}{3}}x^{2}+2x+3$

• $={\frac {1}{3}}(x^{2}+6x+9)$
• $={\frac {1}{3}}(x^{2}+2$×$x$×$3+3^{2})$
• $={\frac {1}{3}}(x+3)^{2}$

使用两种以上的因式分解方法

因式分解$x^{2}+2y^{2}+3xy+4x+8y$。

解：

$x^{2}+2y^{2}+3xy+4x+8y$

• $=(x^{2}+3xy+2y^{2})+(4x+8y)$(分组)
• $=(x+y)(x+2y)+4(x+2y)$(十字交乘&提出公因式)
• $=(x+2y)(x+y+4)$(提出公因式$x+2y$，完毕)