有理數的除法

對於有理數a和b，$b\ne 0$，若有理數c滿足$c\cdot b=a$，則稱c為a及b的商。

性質

• 存在性：若有理數$b\ne 0$，則有理數a及b的商必存在。
• 唯一性：若有理數a及b的商存在，則商必唯一。

證明

• 證明商的存在性

設有理數a和b，$b\ne 0$，則

由倒數的定義，存在b的倒數$\frac{1}{b}$，滿足$b\cdot \frac{1}{b}=1$

令有理數$c=a\cdot \frac{1}{b}$，則

$c\cdot b=a\cdot \frac{1}{b}\cdot b=a\cdot 1=a$符合商的定義，

因而$c=a\cdot \frac{1}{b}$是a及b的商

即商存在

• 證明商的唯一性

若a及b的商存在，不妨設商為c，則

$c\cdot b=a$

由$b\ne 0$，兩邊乘以b的倒數$\frac{1}{b}$，得

$c\cdot b\cdot \frac{1}{b}=a\cdot \frac{1}{b}$

從而$c\cdot 1=a\cdot \frac{1}{b}$

$c=a\cdot \frac{1}{b}$

也就是說，若商存在，則必等於$a\cdot \frac{1}{b}$

即商是唯一的

記號

由商的存在性及唯一性，可以將其記為$a:b$，$\frac{a}{b}$或$a÷b$

參閱

• 有理數的乘法

參考文獻

• 微積分學教程，(第一卷)(第8版)，第4、5頁，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥爾著，楊弢亮 葉彥謙 譯，郭思旭 較，高等教育出版社