讯号与系统/系统的分类

系统分类

连续时间(continuous-time)系统 V.S 离散时间(discrete-time)系统
无记忆(memoryless)系统 V.S 有记忆(memory)系统
因果(causal)系统 V.S 非因果(noncausal)系统
线性(linear)系统 V.S 非线性(nonlinear)系统
时变(time-varying)系统 V.S 非时变(time-invariant)系统

连续时间(continuous-time)系统 V.S 离散时间(discrete-time)系统

连续时间系统 : 当输入讯号 $𝒙 (𝒕)$ 与输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ 均是连续时间讯号之系统。
离散时间系统 : 输入讯号 $𝒙 [𝒏]$ 与输出讯号 $𝒚 [𝒏]$ 均是离散时间串行之系统。

范例1.12

简单的RC电路，若将电压源讯号视为一连续时间输入讯号，且将电容之两端电压讯号 $𝒚 (𝒕)$ 视为一连续时间输出讯号，

则此简单的RC电路即是单一输入/单一输出讯号连续时间系统之一个例子。

其输入与输出之关系可用一阶常微分方程式描述为：

\frac{d y (t)}{d t} + \frac{1}{R C} y (t) = \frac{1}{R C} x (t)

范例1.13

张先生以定期不定额方式准备退休基金，于当月份(或称第 $𝒏$ 个月)存入某银行之金额为 $𝒙 [𝒏]$ ，假设月利率为0.0025，以复利方式计息，那么当月份计息后，张先生在该银行之总存款金额 $𝒚 [𝒏]$ 为：

𝒚 [𝒏] = 1.0025 𝒚 [𝒏 - 1] + 𝒙 [𝒏]

若将总存款金额 $𝒚 [𝒏]$ 视为输出串行，当月存入金额 $𝒙 [𝒏]$ 视为输入串行，则张先生的退休基金准备计划可以视为一个单一输入/输出之离散时间系统 。

无记忆(memoryless)系统 V.S 有记忆(memory)系统

无记忆系统 : 系统在任意时间 $𝒕 = 𝒕_{1}$ 的输出只与 $𝒕 = 𝒕_{1}$ 时的输入有关。
有记忆系统 : 系统在时间 $𝒕 = 𝒕_{1}$ 的输出是由 $𝒕 = 𝒕_{1}$ 的输入以及其他时间 $𝒕 \neq 𝒕_{1}$ 的输入共同决定。

范例1.14

一个简单的RC电路，假设跨于电阻之电压为输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ ，而 $𝒙 (𝒕)$ 为输入电流源讯号，那么此连续时间系统之输出/输入讯号关系可描述为：

𝒚 (𝒕) = 𝑹 𝒙 (𝒕)

显然输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ 只与同一时间的输入讯号有关，即成比例关系，故此系统为无记忆系统 。

范例1.15

考虑上一范例，假设跨于电容之电压为输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ ，输入电流源讯号仍设为 $𝒙 (𝒕)$ ，那么以此输出/输入讯号之系统描述为：

y (t) = \frac{1}{C} \int_{- \infty}^{t} x (τ) d τ

显然，输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ 与时间 $𝒕$ 之前的所有输入讯号 $𝒙 (𝝉)$ ， $- \infty < τ \leq t$ 都有关系，故此系统为有记忆系统(与我们认知电容为一记忆元件之观念相符) 。

因果(causal)系统 V.S 非因果(noncausal)系统

因果系统 : 一系统的输出讯号只与目前或之前的输入讯号有关。
非因果系统 : 输出讯号与未来时间的输入讯号有关。
此处所提之“因果”的物理意义与我们平常所说的“前因后果”之因果关系是相同的，其中输入讯号为“因”，输出讯号为“果”，先有因才有果，有输入讯号后

才有输出讯号的系统符合此因果概念是以称为因果系统。换句话说，输入讯号之前便有输出讯号(无中生有)的系统为非因果系统。

无记忆的系统必然为因果系统。

范例1.16

假设一系统之输入/输出关系描述为：

𝒚 (𝒕) = 𝒙 (𝒕) + 𝒙 (𝒕 - 2)

输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ 决定于同一时间的输入讯号 $𝒙 (𝒕)$ 及两2秒前之输入讯号 $𝒙 (𝒕 - 2)$ ，符合因果关系，故此系统为因果系统。

范例1.17

假设一系统之输入/输出关系描述为：

𝒚 (𝒕) = 𝒙 (𝒕 - 2) + 𝒙 (𝒕 + 2)

系统之输出讯号 $𝒚 (𝒕)$ 为 2 秒前的输入讯号 $𝒙 (𝒕 - 2)$ 及 2 秒后之输入讯号 $𝒙 (𝒕 + 2)$ 的和，

输出讯号与未来输入讯号有关，不具因果关系，故此系统为非因果系统。

ex. 非因果(noncausal)系统

非因果系统无法以即时(real time)的方式实现。
必须加入适当的延迟。

线性(linear)系统 V.S 非线性(nonlinear)系统

重叠原理(superposition property) :

线性系统必须具有重叠原理 ; 不满足重叠原理为非线性系统。

范例1.18

假设系统之输出/输入关系为: $y (t) = (t - 2) x (t)$ ，请说明此系统为一线性系统。

解答

假设将任意两讯号 $x_{1} (t)$ 和 $x_{2} (t)$ 分别输入此系统，分别产生之输出讯号 $y_{1} (t)$ 和 $y_{2} (t)$ 可表示成

y_{1} (t) = T [x_{1} (t)] = (t - 2) x_{1} (t)

y_{2} (t) = T [x_{2} (t)] = (t - 2) x_{2} (t)

检验输入讯号 $α_{1} x_{1} (t)$ + $α_{2} x_{2} (t)$ 对应之输出讯号

T [α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)] = (t - 2) [α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)]

= α_{1} (t - 2) x_{1} (t) + α_{2} (t - 2) x_{2} (t)

= α_{1} y_{1} (t) + α_{2} y_{2} (t)

符合重叠原理，故此系统为一线性系统。

范例1.19

假设系统之输出/输入关系为: $y (t) = x^{2} (t)$ ，请说明此系统为一非线性系统。

解答

假設將任意兩訊號  $x 1 (t)$  和  $x 2 (t)$  分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號  $y 1 (t)$  和  $y 2 (t)$  可表示成

y_{1} (t) = T [x_{1} (t)] = x_{1}^{2} (t)

y_{2} (t) = T [x_{2} (t)] = x_{2}^{2} (t)

检验输入讯号 $α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)$ 对应之输出讯号

T [α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)]

=

[α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)]^{2}

= α_{1}^{2} x_{1}^{2} (t) + 2 α_{1} α_{2} x_{1} (t) x_{2} (t) + α_{2}^{2} x_{2}^{2} (t)

\neq α_{1} y_{1} (t) + α_{2} y_{2} (t)

不符合重叠特性，故此系统为一非线性系统。

范例1.20

假设系统之输出/输入关系为 : $y_{(} t) = (\frac{1}{12}) x (t) - \frac{5}{6}$ ，请说明此系统为一非线性系统。

解答

令 $y_{1} (t) = T [x_{1} (t)] = \frac{1}{12} x_{1} (t) - \frac{5}{6}$

y_{2} (t) = T [x_{2} (t)] = \frac{1}{12} x_{2} (t) - \frac{5}{6}

检验输入讯号 $α_{1} x_{1} (t)$ + $α_{2} x_{2} (t)$ 对应之输出讯号

T [α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)] = \frac{1}{12} [α_{1} x_{1} (t) + α_{2} x_{2} (t)]

-

\frac{5}{6}

= α_{1} \frac{1}{12} x_{1} (t)

+

α_{2} \frac{1}{12} x_{2} (t)

-

\frac{5}{6}

\neq α_{1} y_{1} (t) + α_{2} y_{2} (t)

不符合重叠特性，故此系统为一非线性系统。

ex. 线性(linear)系统

一系统之数学模型如可表成如下线性微分方程式 :
- $\frac{d^{n} y}{d t^{n}} + a_{n - 1} \frac{d^{n - 1} y}{d t^{n - 1}} + \dots + a_{0} y = b_{m} \frac{d^{m} x}{d t^{m}} + \dots + b_{1} \frac{d x}{d t} + b_{0} x$
- 则此一系统必为线性系统。方程式中的系数 $a_{i}$ 与 $b_{i}$ 可为常数或时间的函数。
大部分实际的系统均具有非线性的特性。但在 "小讯号" 的条件下，常可近似为线性系统。

时变(time-varying)系统 V.S 非时变(time-invariant)系统

非时变系统 : 若一系统之输入讯号的输入时间提前或延后 $t_{0}$ 时，其对应的输出讯号波形与原输出讯号波形相同，但其输出讯号也提前或延后 $t_{0}$ 。
不符合以上特性之系统称为时变系统。

范例1.21

系统 : $y (t) = (t - 2) x (t)$ ，请说明此系统为一时变系统。

解答

此系统之输入讯号与输出讯号分别为 $x (t)$ 和 $y (t)$ ，假设输入讯号之输入时间延后 $t_{0}$ ，此时输入讯号为 $x_{d} (t) = x (t - t_{0})$ ，此情况之系统输出为

y_{d} (t) = T [x_{d} (t)] = T [x (t - t_{0})] = (t - 2) x (t - t_{0})

检验原输出讯号输出时间也平移 $t 0$ 之结果为

y (t - t_{0}) = (t - t_{0} - 2) x (t - t_{0})

显然 $y_{d} (t)$ 与 $y (t - t_{0})$ 不相等，故此系统为一时变系统。

范例1.22

假设系统之输出/输入关系为 : $y (t) = c o s (x (t))$ ，请说明此系统为一非时变系统。

解答

此系统之输入讯号与输出讯号分别为 $x (t)$ 和 $y (t)$ ，假设输入讯号之输入时间延后 $t 0$ ，此时输入讯号为 $x_{d} (t) = x (t - t_{0})$ ，此情况之系统输出讯号为

y_{d} (t) = T [x_{d} (t)] = T [x (t - t_{0})] = c o s (x (t - t_{0}))

检验原输出讯号输出时间也平移 $t 0$ 之结果为

y (t - t_{0}) = c o s (x (t - t_{0}))

$y_{d} (t)$ 与 $y (t - t_{0})$ 相等，故此系统为一非时变系统。