訊號與系統/系統的分類

系統分類

• 連續時間(continuous-time)系統 V.S 離散時間(discrete-time)系統
• 無記憶(memoryless)系統 V.S 有記憶(memory)系統
• 因果(causal)系統 V.S 非因果(noncausal)系統
• 線性(linear)系統 V.S 非線性(nonlinear)系統
• 時變(time-varying)系統 V.S 非時變(time-invariant)系統

連續時間(continuous-time)系統 V.S 離散時間(discrete-time)系統

• 連續時間系統 : 當輸入訊號${\boldsymbol {x(t)}}$ 與輸出訊號${\boldsymbol {y(t)}}$ 均是連續時間訊號之系統。
• 離散時間系統 : 輸入訊號${\boldsymbol {x[n]}}$ 與輸出訊號${\boldsymbol {y[n]}}$ 均是離散時間序列之系統。

範例1.12

簡單的RC電路，若將電壓源訊號視為一連續時間輸入訊號，且將電容之兩端電壓訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ 視為一連續時間輸出訊號，

則此簡單的RC電路即是單一輸入/單一輸出訊號連續時間系統之一個例子。

其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：

${\frac {dy(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}y(t)={\frac {1}{RC}}x(t)$

範例1.13

張先生以定期不定額方式準備退休基金，於當月份(或稱第${\boldsymbol {n}}$個月)存入某銀行之金額為 ${\boldsymbol {x[n]}}$ ，假設月利率為0.0025，以複利方式計息，那麼當月份計息後，張先生在該銀行之總存款金額 ${\boldsymbol {y[n]}}$ 為 ：

${\boldsymbol {y[n]=1.0025y[n-1]+x[n]}}$

若將總存款金額 ${\boldsymbol {y[n]}}$ 視為輸出序列，當月存入金額 ${\boldsymbol {x[n]}}$ 視為輸入序列，則張先生的退休基金準備計劃可以視為一個單一輸入/輸出之離散時間系統 。

無記憶(memoryless)系統 V.S 有記憶(memory)系統

• 無記憶系統 : 系統在任意時間 ${\boldsymbol {t=t_{1}}}$ 的輸出只與 ${\boldsymbol {t=t_{1}}}$ 時的輸入有關 。
• 有記憶系統 : 系統在時間 ${\boldsymbol {t=t_{1}}}$ 的輸出是由 ${\boldsymbol {t=t_{1}}}$ 的輸入以及其他時間 ${\boldsymbol {t\neq t_{1}}}$ 的輸入共同決定 。

範例1.14

一個簡單的RC電路，假設跨於電阻之電壓為輸出訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ ，而${\boldsymbol {x(t)}}$為輸入電流源訊號，那麼此連續時間系統之輸出/輸入訊號關係可描述為 ：

${\boldsymbol {y(t)=Rx(t)}}$

顯然輸出訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ 只與同一時間的輸入訊號有關，即成比例關係，故此系統為無記憶系統 。

範例1.15

考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ ，輸入電流源訊號仍設為 ${\boldsymbol {x(t)}}$ ，那麼以此輸出/輸入訊號之系統描述為 ：

$y(t)={\frac {1}{C}}\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\,d\tau$

顯然，輸出訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ 與時間 ${\boldsymbol {t}}$ 之前的所有輸入訊號 ${\boldsymbol {x(\tau )}}$ ，${-\infty <\tau \leq t}$ 都有關係，故此系統為有記憶系統(與我們認知電容為一記憶元件之觀念相符) 。

因果(causal)系統 V.S 非因果(noncausal)系統

• 因果系統 : 一系統的輸出訊號只與目前或之前的輸入訊號有關 。
• 非因果系統 : 輸出訊號與未來時間的輸入訊號有關 。
• 此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入訊號為「因」，輸出訊號為「果」，先有因才有果，有輸入訊號後

才有輸出訊號的系統符合此因果概念是以稱為因果系統。換句話說，輸入訊號之前便有輸出訊號(無中生有)的系統為非因果系統 。

• 無記憶的系統必然為因果系統 。

範例1.16

假設一系統之輸入/輸出關係描述為 ：

${\boldsymbol {y(t)=x(t)+x(t-2)}}$

輸出訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ 決定於同一時間的輸入訊號 ${\boldsymbol {x(t)}}$ 及兩2秒前之輸入訊號 ${\boldsymbol {x(t-2)}}$ ，符合因果關係，故此系統為 因果系統。

範例1.17

假設一系統之輸入/輸出關係描述為 ：

${\boldsymbol {y(t)=x(t-2)+x(t+2)}}$

系統之輸出訊號 ${\boldsymbol {y(t)}}$ 為 2 秒前的輸入訊號 ${\boldsymbol {x(t-2)}}$ 及 2 秒後之輸入訊號 ${\boldsymbol {x(t+2)}}$ 的和，

輸出訊號與未來輸入訊號有關，不具因果關係，故此系統為非因果系統 。

ex. 非因果(noncausal)系統

• 非因果系統無法以即時(real time)的方式實現 。
• 必須加入適當的延遲 。

線性(linear)系統 V.S 非線性(nonlinear)系統

重疊原理(superposition property) :

線性系統必須具有重疊原理 ; 不滿足重疊原理為非線性系統 。

範例1.18

假設系統之輸出/輸入關係為: $y(t)=(t-2)x(t)$ ，請說明此系統為一線性系統 。

解答

假設將任意兩訊號 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號 $y_{1}(t)$ 和 $y_{2}(t)$ 可表示成

$y_{1}(t)=T[x_{1}(t)]=(t-2)x_{1}(t)$

$y_{2}(t)=T[x_{2}(t)]=(t-2)x_{2}(t)$

檢驗輸入訊號 $\alpha _{1}x_{1}(t)$+$\alpha _{2}x_{2}(t)$ 對應之輸出訊號

$T[\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)]=(t-2)[\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)]$

$=\alpha _{1}(t-2)x_{1}(t)+\alpha _{2}(t-2)x_{2}(t)$

$=\alpha _{1}y_{1}(t)+\alpha _{2}y_{2}(t)$

符合重疊原理，故此系統為一線性系統 。

範例1.19

假設系統之輸出/輸入關係為: $y(t)=x^{2}(t)$ ，請說明此系統為一非線性系統 。

解答

假設將任意兩訊號 $x1(t)$ 和 $x2(t)$ 分別輸入此系統，分別產生之輸出訊號 $y1(t)$ 和 $y2(t)$ 可表示成

$y_{1}(t)=T[x_{1}(t)]=x_{1}^{2}(t)$

$y_{2}(t)=T[x_{2}(t)]=x_{2}^{2}(t)$

檢驗輸入訊號 $\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)$ 對應之輸出訊號

$T[\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)]$ = $[\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)]^{2}$

$=\alpha _{1}^{2}x_{1}^{2}(t)+2\alpha _{1}\alpha _{2}x_{1}(t)x_{2}(t)+\alpha _{2}^{2}x_{2}^{2}(t)$

$\neq \alpha _{1}y_{1}(t)+\alpha _{2}y_{2}(t)$

不符合重疊特性，故此系統為一非線性系統 。

範例1.20

假設系統之輸出/輸入關係為 : $y_{(}t)=({\frac {1}{12}})x(t)-{\frac {5}{6}}$ ，請說明此系統為一非線性系統 。

解答

令 $y_{1}(t)=T[x_{1}(t)]={\frac {1}{12}}x_{1}(t)-{\frac {5}{6}}$

$y_{2}(t)=T[x_{2}(t)]={\frac {1}{12}}x_{2}(t)-{\frac {5}{6}}$

檢驗輸入訊號 $\alpha _{1}x_{1}(t)$+$\alpha _{2}x_{2}(t)$ 對應之輸出訊號

$T[\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)]={\frac {1}{12}}[\alpha _{1}x_{1}(t)+\alpha _{2}x_{2}(t)]$ - ${\frac {5}{6}}$

$=\alpha _{1}{\frac {1}{12}}x_{1}(t)$ + $\alpha _{2}{\frac {1}{12}}x_{2}(t)$ - ${\frac {5}{6}}$

$\neq \alpha _{1}y_{1}(t)+\alpha _{2}y_{2}(t)$

不符合重疊特性，故此系統為一非線性系統。

ex. 線性(linear)系統

• 一系統之數學模型如可表成如下線性微分方程式  :
  • ${\frac {d^{n}y}{d\;t^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{d\;t^{n-1}}}+\ldots +a_{0}y=b_{m}{\frac {d^{m}x}{d\;t^{m}}}+\ldots +b_{1}{\frac {dx}{dt}}+b_{0}x$
  • 則此一系統必為線性系統。方程式中的係數 $a_{i}$ 與 $b_{i}$ 可為常數或時間的函數。
• 大部分實際的系統均具有非線性的特性。但在 "小訊號" 的條件下，常可近似為線性系統。

時變(time-varying)系統 V.S 非時變(time-invariant)系統

• 非時變系統 : 若一系統之輸入訊號的輸入時間提前或延後 $t_{0}$ 時，其對應的輸出訊號波形與原輸出訊號波形相同，但其輸出訊號也提前或延後 $t_{0}$ 。
• 不符合以上特性之系統稱為 時變系統 。

範例1.21

系統 : $y(t)=(t-2)x(t)$ ，請說明此系統為一時變系統 。

解答

此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為 $x(t)$ 和 $y(t)$，假設輸入訊號之輸入時間延後 $t_{0}$ ，此時輸入訊號為 $x_{d}(t)=x(t-t_{0})$ ，此情況之系統輸出為

$y_{d}(t)=T[x_{d}(t)]=T[x(t-t_{0})]=(t-2)x(t-t_{0})$

檢驗原輸出訊號輸出時間也平移 $t0$ 之結果為

$y(t-t_{0})=(t-t_{0}-2)x(t-t_{0})$

顯然 $y_{d}(t)$ 與 $y(t-t_{0})$ 不相等，故此系統為一時變系統 。

範例1.22

假設系統之輸出/輸入關係為 : $y(t)=cos(x(t))$ ，請說明此系統為一非時變系統 。

解答

此系統之輸入訊號與輸出訊號分別為 $x(t)$ 和 $y(t)$，假設輸入訊號之輸入時間延後 $t0$ ，此時輸入訊號為 $x_{d}(t)=x(t-t_{0})$ ，此情況之系統輸出訊號為

$y_{d}(t)=T[x_{d}(t)]=T[x(t-t_{0})]=cos(x(t-t_{0}))$

檢驗原輸出訊號輸出時間也平移 $t0$ 之結果為

$y(t-t_{0})=cos(x(t-t_{0}))$

$y_{d}(t)$ 與 $y(t-t_{0})$ 相等，故此系統為一非時變系統 。