代數/本書課文/數例

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数列[编辑]

数列的概念[编辑]

例如:, 36, , 58, 69, 80 依此數列看,其公差等於,故,

76, , 66, ... , 51, 46, , 36,  依此數列看,其公差等於,故, ,

数列的项[编辑]

数列的图像[编辑]

数列的分类[编辑]

等差数列[编辑]

等差数列的概念[编辑]

每一项都与前一项相差一个常数,,则为等差数列。

等差数列的通项公式[编辑]

第一项是 ,公差是 的等差数列的通项公式是

等差数列求和[编辑]

裂項法錯位相減法組合數求和都能求出等差数列的和。

等比数列[编辑]

等比数列的概念[编辑]

每一项与前一项的比为一个常数,,则为等比数列。

等比数列的通项公式[编辑]

第一项是 ,公比是 的等比数列的通项公式是

这里 为自然数。

等比数列求和[编辑]

裂項法錯位相減法都能求出等比数列的和。

差比数列[编辑]

一个等差数列乘上一个等比数列是差比数列,

差比数列求和[编辑]

裂項法錯位相減法逐項求導法阿貝爾變換差分算子求逆法都能求出差比数列的和。

等差中项与等比中项[编辑]

现在我们来研究下面两个问题:

  • 已知三数 成等差数列,这三个数之间有什么样的关系?
  • 已知三数 成等比数列,这三个数之间有什么样的关系?

在解决这两个问题时,要用到等差中项和等比中项的概念。

等差中项[编辑]

根据等差数列的定义,我们知道如果 这三个数成等差数列,那么一定有

由此可得

所以

反过来,如果 ,那么从

也就可以知道 这三个数成等差数列。

我们把

叫做 等差中项

等比中项[编辑]

根据等比数列的定义,我们知道如果 这三个数成等比数列,那么一定有

由此可得

的时候,就有

反过来,如果 ,那么从

也就可以知道 这三个数成等比数列。

我们把

叫做 等比中项

数列的极限[编辑]

数列的极限的意义[编辑]

数列极限的一些定理[编辑]

在研究数列极限的时候,常常要用到下面这些定理,现在我们不加证明的采用。

  • 定理1 如果一个数列有极限,那么它只能有一个极限。
  • 定理2 如果一个数列是递增有限数列,或者是递减有限数列,那么它一定有极限。
  • 定理3 如果两个数列都有极限,就是

那么,由这两个数列各对应项的和、差、积、商所组成的数列,也有极限,并且

例如,数列

的极限是

数列

的极限也是

以这两个数列各对应项的和作数列:

就是

很明显,它的极限是 ,也就是原来这两个数列极限之和。

以这两个数列各对应项的差作数列:

就是

的时候,

所以它的极限是 ,也就是原来这两个数列的极限的差。

以这两个数列各对应项的积作数列:

就是

的时候,

所以它的极限是 ,也就是原来这两个数列的极限的积。

以这两个数列各对应项的商作数列:

就是

的时候,

所以它的极限是 ,也就是原来这两个数列的极限的商。

无穷递缩等比数列[编辑]