代數/本書課文/數例

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數列[編輯]

數列的概念[編輯]

例如:, 36, , 58, 69, 80 依此數列看,其公差等於,故,

76, , 66, ... , 51, 46, , 36,  依此數列看,其公差等於,故, ,

238, , , , -58

如果無相鄰兩數可求公差,令公差=

238-d-d-d-d=-58, 238-4d=-58, 4d=296, d=74

x = 238-74=164, y = 238-74-74=90

z = 238-74-74-74=16

238-74-74-74-74=-58, 所以答案正確。

數列的項[編輯]

數列的圖像[編輯]

數列的分類[編輯]

等差數列[編輯]

等差數列的概念[編輯]

每一項都與前一項相差一個常數,,則為等差數列。

等差數列的通項公式[編輯]

第一項是 ,公差是 的等差數列的通項公式是

等差數列求和[編輯]

裂項法錯位相減法組合數求和都能求出等差數列的和。

等比數列[編輯]

等比數列的概念[編輯]

每一項與前一項的比為一個常數,,則為等比數列。

等比數列的通項公式[編輯]

第一項是 ,公比是 的等比數列的通項公式是

這裡 為自然數。

等比數列求和[編輯]

裂項法錯位相減法都能求出等比數列的和。

差比數列[編輯]

一個等差數列乘上一個等比數列是差比數列,

差比數列求和[編輯]

裂項法錯位相減法逐項求導法阿貝爾變換差分算子求逆法都能求出差比數列的和。

等差中項與等比中項[編輯]

現在我們來研究下面兩個問題:

  • 已知三數 成等差數列,這三個數之間有什麼樣的關係?
  • 已知三數 成等比數列,這三個數之間有什麼樣的關係?

在解決這兩個問題時,要用到等差中項和等比中項的概念。

等差中項[編輯]

根據等差數列的定義,我們知道如果 這三個數成等差數列,那麼一定有

由此可得

所以

反過來,如果 ,那麼從

也就可以知道 這三個數成等差數列。

我們把

叫做 等差中項

等比中項[編輯]

根據等比數列的定義,我們知道如果 這三個數成等比數列,那麼一定有

由此可得

的時候,就有

反過來,如果 ,那麼從

也就可以知道 這三個數成等比數列。

我們把

叫做 等比中項

數列的極限[編輯]

數列的極限的意義[編輯]

數列極限的一些定理[編輯]

在研究數列極限的時候,常常要用到下面這些定理,現在我們不加證明的採用。

  • 定理1 如果一個數列有極限,那麼它只能有一個極限。
  • 定理2 如果一個數列是遞增有限數列,或者是遞減有限數列,那麼它一定有極限。
  • 定理3 如果兩個數列都有極限,就是

那麼,由這兩個數列各對應項的和、差、積、商所組成的數列,也有極限,並且

例如,數列

的極限是

數列

的極限也是

以這兩個數列各對應項的和作數列:

就是

很明顯,它的極限是 ,也就是原來這兩個數列極限之和。

以這兩個數列各對應項的差作數列:

就是

的時候,

所以它的極限是 ,也就是原來這兩個數列的極限的差。

以這兩個數列各對應項的積作數列:

就是

的時候,

所以它的極限是 ,也就是原來這兩個數列的極限的積。

以這兩個數列各對應項的商作數列:

就是

的時候,

所以它的極限是 ,也就是原來這兩個數列的極限的商。

無窮遞縮等比數列[編輯]