初等代数/复数

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复数 (数学)

复数可定义为两实数$\left.a,b\right.$的序对，其中此序对满足以下规律：

• $\left.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.$
• $\left.(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.$

一般复数采用符号i，通常定义$i={\sqrt {-1}}$，或$\left.i^{2}=-1\right.$，而由此定义出发所构成的数$\left.a+ib\right.$亦满足以上所定义的序对的规律

复数数域采用符号$\mathbb {C}$

复数的性质

对于复数$\left.u,v,w,\right.$有以下的性质：

• 加法交换律$\left.u+v=v+u\right.$
• 加法结合律$\left.(u+v)+w=u+(v+w)\right.$
• 乘法交换律$\left.uv=vu\right.$
• 乘法结合律：$\left.u(vw)=(uv)w\right.$
• 分配律：$\left.(u+v)w=uw+vw\right.$；$\left.u(v+w)=uv+uw\right.$

注意：不能比对两个复数的大小，因为大小关系是定义在实数之上的一种关系，也因此复数没有正负之分。

棣美弗定理

对于任意复数z，可表为$z=\left|z\right|(\cos x+i\sin x)$，其中$\left.z=a+ib\right.$，$\left.x={\tan }^{-1}{\frac {b}{a}}\right.$

以此表示法表示的复数有性质如下：

当n为实数，z为以上所讲的复数时

$z^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos x+i\sin x)^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos nx+i\sin nx)$

这个性质在解任意复数(包括实数在内)z的n次方根时相当地有用

另一方面，复数可表示成以e为底指数函数（欧拉公式）：

$\left|z\right|(\cos x+i\sin x)=e^{ix+\ln \left|z\right|}$

欧拉公式

根据泰勒公式，$e^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$和$\sin(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$以及$\cos(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$有：

$e^{iz}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {z^{2n-1}}{(2n-1)!}}=\cos(z)+i\sin(z)$

$\Rightarrow \left|\alpha \right|e^{i\beta }=\left|\alpha \right|\cos(\beta )+i\sin(\beta )$

复数的乘幂与开方

若$\left.z=x+iy\right.$，设$\left|z\right|=r$，$\theta =\arctan {\frac {y}{x}}$则：

$z^{n}=r^{n}e^{i\cdot n\theta }$

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i{\frac {2k\pi +\theta }{n}}}$（其中$\left.k=0,1,\cdots n-1\right.$）