初等代数/复数

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复数可定义为两实数 $\left.a,b\right.$ 的序对，其中此序对满足以下规律：

$\left.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.$
$\left.(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.$

一般复数采用符号i，通常定义 $i={\sqrt {-1}}$ ，或 $\left.i^{2}=-1\right.$ ，而由此定义出发所构成的数 $\left.a+ib\right.$ 亦满足以上所定义的序对的规律

复数数域采用符号 $\mathbb {C}$

复数的性质

对于复数 $\left.u,v,w,\right.$ 有以下的性质：

加法交换律 $\left.u+v=v+u\right.$
加法结合律 $\left.(u+v)+w=u+(v+w)\right.$
乘法交换律 $\left.uv=vu\right.$
乘法结合律： $\left.u(vw)=(uv)w\right.$
分配律： $\left.(u+v)w=uw+vw\right.$ ； $\left.u(v+w)=uv+uw\right.$

注意：不能比对两个复数的大小，因为大小关系是定义在实数之上的一种关系，也因此复数没有正负之分。

棣美弗定理

对于任意复数z，可表为 $z=\left|z\right|(\cos x+i\sin x)$ ，其中 $\left.z=a+ib\right.$ ， $\left.x={\tan }^{-1}{\frac {b}{a}}\right.$

以此表示法表示的复数有性质如下：

当n为实数，z为以上所讲的复数时

$z^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos x+i\sin x)^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos nx+i\sin nx)$

这个性质在解任意复数(包括实数在内)z的n次方根时相当地有用

另一方面，复数可表示成以e为底指数函数（欧拉公式）：

$\left|z\right|(\cos x+i\sin x)=e^{ix+\ln \left|z\right|}$

欧拉公式

根据泰勒公式， $e^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ 和 $\sin(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$ 以及 $\cos(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$ 有：

$e^{iz}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {z^{2n-1}}{(2n-1)!}}=\cos(z)+i\sin(z)$