初等代数/复数

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复数 (数学)

复数可定义为两实数$a,b$的序对，其中此序对满足以下规律：

• $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
• $(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

一般复数采用符号i，通常定义$i=\sqrt{-1}$，或$i^2=-1$，而由此定义出发所构成的数$a+ib$亦满足以上所定义的序对的规律

复数数域采用符号$ℂ$

复数的性质

对于复数$u,v,w,$有以下的性质：

• 加法交换律$u+v=v+u$
• 加法结合律$(u+v)+w=u+(v+w)$
• 乘法交换律$uv=vu$
• 乘法结合律：$u(vw)=(uv)w$
• 分配律：$(u+v)w=uw+vw$；$u(v+w)=uv+uw$

注意：不能比对两个复数的大小，因为大小关系是定义在实数之上的一种关系，也因此复数没有正负之分。

棣美弗定理

对于任意复数z，可表为$z=\left|z\right|(\cos x+i\sin x)$，其中$z=a+ib$，$x={\tan }^{-1}\frac{b}{a}$

以此表示法表示的复数有性质如下：

当n为实数，z为以上所讲的复数时

$z^n={\left|z\right|}^n(\cos x+i\sin x{)}^n={\left|z\right|}^n(\cos nx+i\sin nx)$

这个性质在解任意复数(包括实数在内)z的n次方根时相当地有用

另一方面，复数可表示成以e为底指数函数（欧拉公式）：

$\left|z\right|(\cos x+i\sin x)=e^{ix+\ln \left|z\right|}$

欧拉公式

根据泰勒公式，$e^x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$和$\sin (x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$以及$\cos (x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$有：

$e^{iz}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(iz{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}=\cos (z)+i\sin (z)$

$\Rightarrow \left|\alpha \right|e^{i\beta }=\left|\alpha \right|\cos (\beta )+i\sin (\beta )$

复数的乘幂与开方

若$z=x+iy$，设$\left|z\right|=r$，$\theta =\arctan \frac{y}{x}$则：

$z^n=r^n{e}^{i\cdot n\theta }$

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}{e}^{i\frac{2k\pi +\theta }{n}}$（其中$k=0,1,\cdots n-1$）