初等代數/複數

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複數 (數學)

複數可定義為兩實數$\left.a,b\right.$的序對，其中此序對滿足以下規律：

• $\left.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.$
• $\left.(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.$

一般複數採用符號i，通常定義$i={\sqrt {-1}}$，或$\left.i^{2}=-1\right.$，而由此定義出發所構成的數$\left.a+ib\right.$亦滿足以上所定義的序對的規律

複數數域採用符號$\mathbb {C}$

複數的性質

對於複數$\left.u,v,w,\right.$有以下的性質：

• 加法交換律$\left.u+v=v+u\right.$
• 加法結合律$\left.(u+v)+w=u+(v+w)\right.$
• 乘法交換律$\left.uv=vu\right.$
• 乘法結合律：$\left.u(vw)=(uv)w\right.$
• 分配律：$\left.(u+v)w=uw+vw\right.$；$\left.u(v+w)=uv+uw\right.$

注意：不能比對兩個複數的大小，因為大小關係是定義在實數之上的一種關係，也因此複數沒有正負之分。

棣美弗定理

對於任意複數z，可表為$z=\left|z\right|(\cos x+i\sin x)$，其中$\left.z=a+ib\right.$，$\left.x={\tan }^{-1}{\frac {b}{a}}\right.$

以此表示法表示的複數有性質如下：

當n為實數，z為以上所講的複數時

$z^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos x+i\sin x)^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos nx+i\sin nx)$

這個性質在解任意複數(包括實數在內)z的n次方根時相當地有用

另一方面，複數可表示成以e為底指數函數（歐拉公式）：

$\left|z\right|(\cos x+i\sin x)=e^{ix+\ln \left|z\right|}$

歐拉公式

根據泰勒公式，$e^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$和$\sin(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$以及$\cos(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$有：

$e^{iz}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {z^{2n-1}}{(2n-1)!}}=\cos(z)+i\sin(z)$

$\Rightarrow \left|\alpha \right|e^{i\beta }=\left|\alpha \right|\cos(\beta )+i\sin(\beta )$

複數的乘冪與開方

若$\left.z=x+iy\right.$，設$\left|z\right|=r$，$\theta =\arctan {\frac {y}{x}}$則：

$z^{n}=r^{n}e^{i\cdot n\theta }$

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i{\frac {2k\pi +\theta }{n}}}$（其中$\left.k=0,1,\cdots n-1\right.$）