初等代數/複數

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複數可定義為兩實數 $\left.a,b\right.$ 的序對，其中此序對滿足以下規律：

$\left.(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\right.$
$\left.(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad)\right.$

一般複數採用符號i，通常定義 $i={\sqrt {-1}}$ ，或 $\left.i^{2}=-1\right.$ ，而由此定義出發所構成的數 $\left.a+ib\right.$ 亦滿足以上所定義的序對的規律

複數數域採用符號 $\mathbb {C}$

複數的性質

對於複數 $\left.u,v,w,\right.$ 有以下的性質：

加法交換律 $\left.u+v=v+u\right.$
加法結合律 $\left.(u+v)+w=u+(v+w)\right.$
乘法交換律 $\left.uv=vu\right.$
乘法結合律： $\left.u(vw)=(uv)w\right.$
分配律： $\left.(u+v)w=uw+vw\right.$ ； $\left.u(v+w)=uv+uw\right.$

注意：不能比對兩個複數的大小，因為大小關係是定義在實數之上的一種關係，也因此複數沒有正負之分。

棣美弗定理

對於任意複數z，可表為 $z=\left|z\right|(\cos x+i\sin x)$ ，其中 $\left.z=a+ib\right.$ ， $\left.x={\tan }^{-1}{\frac {b}{a}}\right.$

以此表示法表示的複數有性質如下：

當n為實數，z為以上所講的複數時

$z^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos x+i\sin x)^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos nx+i\sin nx)$

這個性質在解任意複數(包括實數在內)z的n次方根時相當地有用

另一方面，複數可表示成以e為底指數函數（歐拉公式）：

$\left|z\right|(\cos x+i\sin x)=e^{ix+\ln \left|z\right|}$

歐拉公式

根據泰勒公式， $e^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ 和 $\sin(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}$ 以及 $\cos(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$ 有：

$e^{iz}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {z^{2n-1}}{(2n-1)!}}=\cos(z)+i\sin(z)$