國中數學/國中數學七年級/4-1 二元一次方程式

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 3-3 一元一次方程式的應用問題 國中數學七年級
4-1 二元一次方程式
4-2 解二元一次聯立方程式 

生活當中,常常會發生兩個變數在變動的情形。舉例來說:

  • 全班有男生和女生。
  • 使用五元硬幣和十元硬幣購買商品。
  • 許多地方的收費標準會分為全票與半票。

這個時候,如果只有設一個未知數感覺又不太實際。所以在這一節,我們要介紹由兩個未知數所構成的二元一次式,並進一步地介紹二元一次方程式,在4-2 解二元一次聯立方程式進一步會去解兩個未知數的式子。

二元一次式[编辑]

以剛剛舉的例子為例:

  • 若班上有位男學生和位女學生,則全班有位學生。
  • 小琪買早餐花了枚五元硬幣和枚十元硬幣,
    1. 枚五元硬幣的價值為元。
    2. 枚十元硬幣的價值為元。
    3. 所以小琪買早餐花了元。
  • 動物園入園半票每張元,全票每張元,雨辰一家人到動物園玩,總共買了張半票和張全票,又
    1. 半票每張元,買張要元。
    2. 全票每張元,買張要元。
    3. 所以雨辰一家人的門票費為元。

以上出現的式子這種出現兩個未知數,而且未知數的次方都是的式子我們稱作二元一次式。
這邊要注意一些不是二元一次式的情況:

情形
舉例
分母出現未知數
未知數出現在絕對值內
出現了等號
未知數的次方不是
未知數相乘

二元一次式的名詞[编辑]

一元一次式類似,以下是二元一次式的常用名詞:

名稱
說明
為例子
用加號連接的各部分
因為,所以都稱作的項。
項與
有出現一次未知數的項。
因為有出現未知數,所以項為;因為有出現未知數,所以項為
常數項
沒有出現任何未知數的項
因為沒有出現未知數,所以的常數項為
係數
未知數前面的數字或是常數項
中,未知數前面的數字為,所以稱項係數;在中,未知數前面的數字為項係數。
單項式
只有單一一個項的式子
只有一項,所以為單項式。
同類項
具有相同的未知數,而且次方數也相同兩個項
的未知數不相同,所以它們不是同類項;的未知數相同,次數也都是,所以它們是同類項。

小測[编辑]

  

1 項係數是多少?(單選)

2 哪一個選項的項係數是?(單選)

3 哪一組為同類項?(單選)

二元一次式的運算[编辑]

二元一次式的運算如同一元一次式的運算相同,只是多了一個未知數而已。

  • 二元一次式的加減運算:利用同類項合併去括號規則
    1. 同類項合併:將相同未知數的係數相加(減)。如:,本質上為分配律
    2. 去括號規則:括號外為加號,則括號內的運算符號不用改變;括號外為減號,則括號內的運算符號加改減,減改加。如:[註 1]
  • 二元一次式的係數積:利用分配律
    • 如:
  • 分數型的運算:通分
    • 如:

二元一次方程式[编辑]

當一個方程式可以整理成,其中為任何數,則我們稱這樣的式子為二元一次方程式[註 2]
以下是一些例子:

  1. 是二元一次方程式,因為可以改寫成
  2. 是二元一次方程式,因為可以改寫成
  3. 不是二元一次方程式,因為可以改寫成只有出現一個未知數。

註解[编辑]

  1. 可以將想成
  2. 這是未知數為的狀況。事實上,只要整理過後有出現兩個未知數的方程式都是二元一次方程式,但大部分以為主。