國中數學/國中數學七年級/3-3 一元一次方程式的應用問題

3-2 解一元一次方程式

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國中數學七年級 3-3 一元一次方程式的應用問題

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4-1 二元一次方程式

本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式，提供一些常見的應用問題。

一元一次方程式的應用問題解題步驟

1. 假設未知數。
2. 依題意列出一元一次方程式。
3. 解一元一次方程式。
4. 驗算、檢查解是否合乎情境。
5. 寫答，若沒有符合情境則回答「無解」。

價錢問題

簡易價格問題

例題$1$ 宇蓁到便利商店買$2$個相同價錢的御飯糰和$1$瓶$42$元的優酪乳，在沒有任何促銷優惠下，總共花了$108$元。請問宇蓁買的御飯糰每個幾元？

解 步驟 過程與內容 1.假設未知數 設宇蓁買的御飯糰每個$x$元。 2.依題意列出一元一次方程式 宇蓁買$2$個御飯糰，要花$2x$元，再加上優酪乳$42$元，宇蓁需要花$2x+42$元，根據題意，宇蓁實際花了$108$元，可以列出一元一次方程式$2x+42=108$。 3.解一元一次方程式。 $2x+42=108\Rightarrow 2x=66\Rightarrow x=33$ 4.驗算、檢查解是否合乎情境。 $2\times 33+42=66+42=108$，故$x=33$為$2x+42=108$的解，而$x=33$符合情境，故每個御飯糰$33$元。 5.寫答 答：每個御飯糰$33$元。

兩物件價格問題

例題$2$ 冰涼飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜$20$元。億賢到冰涼飲料店買了$3$杯古早味紅茶和$4$杯珍珠奶茶，總共花了$185$元，請問冰涼飲料店每杯珍珠奶茶多少元？

解 步驟 過程與內容 1.假設未知數 設冰涼飲料店每杯珍珠奶茶$x$元，則每杯古早味紅茶$(x-20)$元。 2.依題意列出一元一次方程式 買$3$杯古早味紅茶，要付$3(x-20)$元； 買$4$杯珍珠奶茶，要付$4x$元，總共要花$3(x-20)+4x$元， 又實際花了$185$元，故可以列出一元一次方程式$3(x-20)+4x=185$。 3.解一元一次方程式。 $3(x-20)+4x=185\Rightarrow 3x-60+4x=185\Rightarrow 7x=245\Rightarrow x=35$ 4.驗算、檢查解是否合乎情境。 $3\times (35-20)+4\times 35=3\times 15+140=45+140=185$，故$x=35$為$3(x-20)+4x=185$的解，而$x=35$符合題意，故每杯珍珠奶茶$35$元。 5.寫答 答：每杯珍珠奶茶$35$元。

分配問題

一般來說，分配問題通常會假設「每人分配數量」為$x$，並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。

例題$3$ 珮瑜買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分$5$顆時會多出$12$顆，但每人分$7$顆時則會少$28$顆，則珮瑜班上有多少人？

解 步驟 過程與內容 1.假設未知數 設珮瑜班上總共有$x$人。 2.依題意列出一元一次方程式 珮瑜每人分$5$顆巧克力時，總共需要$5x$顆，再加上剩餘的$12$顆，這袋巧克力總共有$5x+12$顆； 珮瑜每人分$7$顆巧克力時，總共需要$7x$顆，但因為不夠$28$顆，所以這袋巧克力只有$7x-28$顆。 兩種算法巧克力的數量應該一樣，故可以列出一元一次方程式$5x+12=7x-28$。 3.解一元一次方程式。 $5x+12=7x-28\Rightarrow 5x-7x=-28-12\Rightarrow -2x=-40\Rightarrow x=20$ 4.驗算、檢查解是否合乎情境。 $5\times 20+12=112$且$7\times 20-28=112$，故$x=20$為$5x+12=7x-28$的解，而$x=20$符合題意，故珮瑜班上總共有$20$人。 5.寫答 答：珮瑜班上總共有$20$人。

例題$4$ 廣祈與義偉為一對兄弟，媽媽每週都會給他們總共$1000$元當作零用錢，但是因為義偉上一週比較不聽話，所以媽媽在這週分給義偉的錢是廣祈的${\frac {2}{3}}$倍還少$50$元，則廣祈這週的零用錢為多少元？

解 步驟 過程與內容 1.假設未知數 設廣祈有$x$元的零用錢，而義偉的零用錢為廣祈的${\frac {2}{3}}$倍還少$50$元，所以義偉的零用錢有${\frac {2}{3}}x-50$元。 2.依題意列出一元一次方程式 兩人總共有$1000$元，故可以列出一元一次方程式$x+({\frac {2}{3}}x-50)=1000$。 3.解一元一次方程式。 $x+({\frac {2}{3}}x-50)=1000\Rightarrow {\frac {5}{3}}x-50=1000\Rightarrow {\frac {5}{3}}x=1050\Rightarrow x=630$ 4.驗算、檢查解是否合乎情境。 $630+({\frac {2}{3}}\times 630-50)=630+(420-50)=630+370=1000$，故$x=630$為$x+({\frac {2}{3}}x-50)=1000$的解，而$x=630$符合題意，故廣祈的零用錢有$630$元。 5.寫答 答：廣祈本週的零用錢有$630$元。

速率問題

速率問題的根本為「距離$=$時間$\times$速率」。底下會一一說明。

例題$5$ 彤雯和朋友一起去爬山，她們來回走相同的山路，已知她們上山的速率為每小時$3$公里，下山的速率為每小時$5$公里，她們來回一趟總共花了$5$小時。請問她們爬的山路長度為多少公里？

解 假設山路長$x$公里，因為我們知道速率與距離(我們假設的)，故我們應該用$x$表示上下山的時間。 由上山速率為每小時$3$公里與距離$=$時間$\times$速率可知上山時間$=x\div 3={\frac {x}{3}}$小時； 同理，由下山速率為每小時$5$公里與距離$=$時間$\times$速率可知下山時間$=x\div 5={\frac {x}{5}}$小時。 而總時間為$5$小時，所以可以列出一元一次方程式${\frac {x}{3}}+{\frac {x}{5}}=5$。 解${\frac {x}{3}}+{\frac {x}{5}}=5$可以同乘$15$得到$5x+3x=75\Rightarrow 8x=75\Rightarrow x={\frac {75}{8}}$， 故山路長${\frac {75}{8}}$公里。 答案：${\frac {75}{8}}$公里。

例題$6$ 仕傑每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課，他需要花$15$分鐘才能到學校，但如果他把時速提升$5$公里，則他可以提早$5$分鐘到學校。請問仕傑平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校？

解 假設仕傑每天以時速$x$公里上學，因為我們知道仕傑的速率與時間，故我們應該用$x$表示距離。 因為原本的速率為時速$x$公里，所以他上學的距離原本是${\frac {15x}{60}}={\frac {x}{4}}$公里，而增加時速為$(x+5)$公里，所以他上學的距離利用新速率算是${\frac {10(x+5)}{60}}={\frac {x+5}{6}}$公里。都是相同路程，所以可以列出一元一次方程式${\frac {x}{4}}={\frac {x+5}{6}}$。 解${\frac {x}{4}}={\frac {x+5}{6}}$可以同乘$12$得到$3x=2(x+5)\Rightarrow 3x=2x+10\Rightarrow x=10$， 故仕傑每天以時速$10$公里的速度上學。 答案：時速$10$公里。

你注意到了嗎？簡單來說，速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的，其中一個是你假設的，所以利用這兩個關係找出第三個，就能夠作速率問題嘍！

年齡問題

年齡問題的核心在於年齡問題是共進退的，一個增加幾歲，另外一個也會增加幾歲；同理，一個減少幾歲，另外一個也會減少幾歲。另外，兩人在每一個年度的年齡差是相等的。

例題$7$ 阿姨和冠群今年相差$28$歲。五年前，阿姨的年齡是冠群的$3$倍少$4$歲，則阿姨今年幾歲？

解 假設阿姨五年前$x$歲，則冠群五年前$(x-28)$歲， 又已知當時阿姨的年齡是冠群的$3$倍少$4$歲，故可以列出一元一次方程式$x=3(x-28)-4$。 解$x=3(x-28)-4$先展開再移項化簡可得$x=3x-84-4\Rightarrow -2x=-88\Rightarrow x=44$ 故阿姨今年$44+5=49$歲。 答案：阿姨今年$49$歲。

幾何問題

解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式，之後解出未知數。常見的幾何性質有：

• 三角形內角和$180$度，外角和$360$度。
• 面積公式。
  1. 長方形面積公式為長$\times$寬。
  2. 平行四邊形的面積公式為底$\times$高。
  3. 三角形面積公式為${\frac {1}{2}}\times$底$\times$高。
  4. 梯形面積公式為${\frac {1}{2}}\times ($上底$+$下底$)\times$高。
• 周長公式。
  1. 正方形周長公式為邊長$\times 4$。
  2. 長方形周長公式為$($長$+$寬$)\times 2$。
  3. 平行四邊形周長公式為鄰邊之和$\times 2$。
  4. 正多邊形周長公式為邊長$\times$邊數。
  5. 圓形周長公式為半徑$\times 2\times$圓周率$=$直徑$\times$圓周率。

例題$8$ 有一個梯形，它的面積為$72$平方公分，其中上底比下底長$4$公分，高為$8$公分，則此梯形的上底為多少公分？

解 假設梯形上底為$x$公分，下底為$x-4$公分，因為已知高與面積，故可以列出一元一次不等式${\frac {1}{2}}\times \ [x+(x-4)]\times 8=72\Rightarrow (2x-4)\times 8=144\Rightarrow 2x-4=18\Rightarrow 2x=22\Rightarrow x=11$，故上底為$11$公分。 答案：$11$公分

數學魔術

有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為$x$，然後依據魔術過程列出等式，再解$x$求得對方心裏想的數。有時也會利用到一元一次式的化簡，因為原本的式子只是恆等式，所以必定會獲得某一種結果。

例題$9$ 平次想要展示魔術給和葉。平次請和葉先想一個大於$10$的二位數，然後將這個數先乘以$5$，然後減去$4$，答案再乘以$2$，和葉的結果為$152$，則和葉心裏想的數是多少？

解 假設和葉想的數是$x$，依題意，先乘以$5$得到$5x$，然後減去$4$得到$5x-4$，最後再乘以$2$得到$2(5x-4)$，而這個數是$152$，所以列出一元一次方程式$2(5x-4)=152$。展開得$10x-8=152$，移項得$10x=160$，$x=16$，和葉想的數是$16$。

上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加$1$就是答案。

習題
請你自己設計一個數學魔術！這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。

不合理的解

在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時，我們會稱此應用問題沒有合理的解。

例題$10$：不合理的解 若四個連續奇數的和是$60$，試求出此四個連續奇數分別是多少？

解 設最小的奇數為$x$，則另外三數分別是$(x+2)$、$(x+4)$與$(x+6)$， 注意 任意兩個連續奇數都相差$2$。 依題意可以列出一元一次方程式$x+(x+2)+(x+4)+(x+6)=60$， 化簡得$4x+12=60\Rightarrow 4x=48\Rightarrow x=12$，但$x$為奇數，故不合，此題無解。