本章節針對前一個單元所教的一元一次方程式,提供一些常見的應用問題。
- 假設未知數。
- 依題意列出一元一次方程式。
- 解一元一次方程式。
- 驗算、檢查解是否合乎情境。
- 寫答,若沒有符合情境則回答「無解」。
例題 宇蓁到便利商店買 個相同價錢的御飯糰和 瓶 元的優酪乳,在沒有任何促銷優惠下,總共花了 元。請問 宇蓁買的御飯糰每個幾元?
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例題 [註 1]冰涼飲料店每杯古早味紅茶比每杯珍珠奶茶便宜 元。 億賢到 冰涼飲料店買了 杯古早味紅茶和 杯珍珠奶茶,總共花了 元,請問 冰涼飲料店每杯珍珠奶茶多少元?
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一般來說,分配問題通常會假設「每人分配數量」為,並利用「要分配物的數量」列出一元一次方程式。
例題 珮瑜買了一袋巧克力要請全班吃。如果每人分 顆時會多出 顆,但每人分 顆時則會少 顆,則 珮瑜班上有多少人?
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例題 廣祈與 義偉為一對兄弟,媽媽每週都會給他們總共 元當作零用錢,但是因為 義偉上一週比較不聽話,所以媽媽在這週分給 義偉的錢是 廣祈的 倍還少 元,則 廣祈這週的零用錢為多少元?
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速率問題的根本為「距離時間速率」。底下會一一說明。
例題 彤雯和朋友一起去爬山,她們來回走相同的山路,已知她們上山的速率為每小時 公里,下山的速率為每小時 公里,她們來回一趟總共花了 小時。請問她們爬的山路長度為多少公里?
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例題 仕傑每天以固定速率騎腳踏車走相同的路程去上課,他需要花 分鐘才能到學校,但如果他把時速提升 公里,則他可以提早 分鐘到學校。請問 仕傑平時固定以每小時多少公里的速度騎腳踏車到學校?
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你注意到了嗎?簡單來說,速率問題一定會有一個(距離、時間、速率)是知道的,其中一個是你假設的,所以利用這兩個關係找出第三個,就能夠作速率問題嘍!
年齡問題的核心在於年齡問題是共進退的,一個增加幾歲,另外一個也會增加幾歲;同理,一個減少幾歲,另外一個也會減少幾歲。另外,兩人在每一個年度的年齡差是相等的。
例題 阿姨和 冠群今年相差 歲。五年前,阿姨的年齡是 冠群的 倍少 歲,則阿姨今年幾歲?
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解幾何問題有的時候會需要使用一元一次方程式來解題。這類的問題會使用幾何圖形的基本性質列出等式,之後解出未知數。常見的幾何性質有:
- 三角形內角和度,外角和度。
- 面積公式。
- 長方形面積公式為長寬。
- 平行四邊形的面積公式為底高。
- 三角形面積公式為底高。
- 梯形面積公式為上底下底高。
- 周長公式。
- 正方形周長公式為邊長。
- 長方形周長公式為長寬。
- 平行四邊形周長公式為鄰邊之和。
- 正多邊形周長公式為邊長邊數。
- 圓形周長公式為半徑圓周率直徑圓周率[註 2]。
例題 有一個梯形,它的面積為 平方公分,其中上底比下底長 公分,高為 公分,則此梯形的上底為多少公分?
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解 假設梯形上底為 公分,下底為 公分,因為已知高與面積,故可以列出一元一次不等式 ,故上底為 公分。
答案:公分
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有些數學魔術可以利用一元一次方程式來解題。此類問題會先假設原本的數字為,然後依據魔術過程列出等式,再解求得對方心裡想的數。有時也會利用到一元一次式的化簡,因為原本的式子只是恆等式,所以必定會獲得某一種結果。
例題 平次想要展示魔術給 和葉。 平次請 和葉先想一個大於 的二位數,然後將這個數先乘以 ,然後減去 ,答案再乘以 , 和葉的結果為 ,則 和葉心裡想的數是多少?
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解 假設 和葉想的數是 ,依題意,先乘以 得到 ,然後減去 得到 ,最後再乘以 得到 ,而這個數是 ,所以列出一元一次方程式 。展開得 ,移項得 , , 和葉想的數是 。
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上面這個例題的魔術變法就是只要她的答案前兩位數加就是答案。
習題
請你自己設計一個數學魔術!這個數學魔術至少要讓參加者做三個步驟以上。
在解應用問題的時候要注意有的時候答案可能會出現不合理的情況。如爸爸的年紀小於兒子、人數為非正整數、邊長為負數等等。這時,我們會稱此應用問題沒有合理的解。
例題 :不合理的解 若四個連續奇數的和是 ,試求出此四個連續奇數分別是多少?
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解 設最小的奇數為 ,則另外三數分別是 、 與 ,
注意
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任意兩個連續奇數都相差。
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依題意可以列出一元一次方程式,
化簡得,但為奇數,故不合,此題無解。
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- ↑ 此類問題也可以利用二元一次聯立方程式來求解。
- ↑ 圓周率在國中階段使用,它是一個希臘字母,讀作「ㄆㄞ」。