国中数学/国中数学七年级/3-3 一元一次方程式的应用问题

3-2 解一元一次方程式

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国中数学七年级 3-3 一元一次方程式的应用问题

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4-1 二元一次方程式

本章节针对前一个单元所教的一元一次方程式，提供一些常见的应用问题。

一元一次方程式的应用问题解题步骤

1. 假设未知数。
2. 依题意列出一元一次方程式。
3. 解一元一次方程式。
4. 验算、检查解是否合乎情境。
5. 写答，若没有符合情境则回答“无解”。

价钱问题

简易价格问题

例题$1$ 宇蓁到便利商店买$2$个相同价钱的御饭团和$1$瓶$42$元的优酪乳，在没有任何促销优惠下，总共花了$108$元。请问宇蓁买的御饭团每个几元？

解 步骤 过程与内容 1.假设未知数 设宇蓁买的御饭团每个$x$元。 2.依题意列出一元一次方程式 宇蓁买$2$个御饭团，要花$2x$元，再加上优酪乳$42$元，宇蓁需要花$2x+42$元，根据题意，宇蓁实际花了$108$元，可以列出一元一次方程式$2x+42=108$。 3.解一元一次方程式。 $2x+42=108\Rightarrow 2x=66\Rightarrow x=33$ 4.验算、检查解是否合乎情境。 $2\times 33+42=66+42=108$，故$x=33$为$2x+42=108$的解，而$x=33$符合情境，故每个御饭团$33$元。 5.写答 答：每个御饭团$33$元。

两物件价格问题

例题$2$ 冰凉饮料店每杯古早味红茶比每杯珍珠奶茶便宜$20$元。亿贤到冰凉饮料店买了$3$杯古早味红茶和$4$杯珍珠奶茶，总共花了$185$元，请问冰凉饮料店每杯珍珠奶茶多少元？

解 步骤 过程与内容 1.假设未知数 设冰凉饮料店每杯珍珠奶茶$x$元，则每杯古早味红茶$(x-20)$元。 2.依题意列出一元一次方程式 买$3$杯古早味红茶，要付$3(x-20)$元； 买$4$杯珍珠奶茶，要付$4x$元，总共要花$3(x-20)+4x$元， 又实际花了$185$元，故可以列出一元一次方程式$3(x-20)+4x=185$。 3.解一元一次方程式。 $3(x-20)+4x=185\Rightarrow 3x-60+4x=185\Rightarrow 7x=245\Rightarrow x=35$ 4.验算、检查解是否合乎情境。 $3\times (35-20)+4\times 35=3\times 15+140=45+140=185$，故$x=35$为$3(x-20)+4x=185$的解，而$x=35$符合题意，故每杯珍珠奶茶$35$元。 5.写答 答：每杯珍珠奶茶$35$元。

分配问题

一般来说，分配问题通常会假设“每人分配数量”为$x$，并利用“要分配物的数量”列出一元一次方程式。

例题$3$ 佩瑜买了一袋巧克力要请全班吃。如果每人分$5$颗时会多出$12$颗，但每人分$7$颗时则会少$28$颗，则佩瑜班上有多少人？

解 步骤 过程与内容 1.假设未知数 设佩瑜班上总共有$x$人。 2.依题意列出一元一次方程式 佩瑜每人分$5$颗巧克力时，总共需要$5x$颗，再加上剩余的$12$颗，这袋巧克力总共有$5x+12$颗； 佩瑜每人分$7$颗巧克力时，总共需要$7x$颗，但因为不够$28$颗，所以这袋巧克力只有$7x-28$颗。 两种算法巧克力的数量应该一样，故可以列出一元一次方程式$5x+12=7x-28$。 3.解一元一次方程式。 $5x+12=7x-28\Rightarrow 5x-7x=-28-12\Rightarrow -2x=-40\Rightarrow x=20$ 4.验算、检查解是否合乎情境。 $5\times 20+12=112$且$7\times 20-28=112$，故$x=20$为$5x+12=7x-28$的解，而$x=20$符合题意，故佩瑜班上总共有$20$人。 5.写答 答：佩瑜班上总共有$20$人。

例题$4$ 广祈与义伟为一对兄弟，妈妈每周都会给他们总共$1000$元当作零用钱，但是因为义伟上一周比较不听话，所以妈妈在这周分给义伟的钱是广祈的${\frac {2}{3}}$倍还少$50$元，则广祈这周的零用钱为多少元？

解 步骤 过程与内容 1.假设未知数 设广祈有$x$元的零用钱，而义伟的零用钱为广祈的${\frac {2}{3}}$倍还少$50$元，所以义伟的零用钱有${\frac {2}{3}}x-50$元。 2.依题意列出一元一次方程式 两人总共有$1000$元，故可以列出一元一次方程式$x+({\frac {2}{3}}x-50)=1000$。 3.解一元一次方程式。 $x+({\frac {2}{3}}x-50)=1000\Rightarrow {\frac {5}{3}}x-50=1000\Rightarrow {\frac {5}{3}}x=1050\Rightarrow x=630$ 4.验算、检查解是否合乎情境。 $630+({\frac {2}{3}}\times 630-50)=630+(420-50)=630+370=1000$，故$x=630$为$x+({\frac {2}{3}}x-50)=1000$的解，而$x=630$符合题意，故广祈的零用钱有$630$元。 5.写答 答：广祈本周的零用钱有$630$元。

速率问题

速率问题的根本为“距离$=$时间$\times$速率”。底下会一一说明。

例题$5$ 彤雯和朋友一起去爬山，她们来回走相同的山路，已知她们上山的速率为每小时$3$公里，下山的速率为每小时$5$公里，她们来回一趟总共花了$5$小时。请问她们爬的山路长度为多少公里？

解 假设山路长$x$公里，因为我们知道速率与距离(我们假设的)，故我们应该用$x$表示上下山的时间。 由上山速率为每小时$3$公里与距离$=$时间$\times$速率可知上山时间$=x\div 3={\frac {x}{3}}$小时； 同理，由下山速率为每小时$5$公里与距离$=$时间$\times$速率可知下山时间$=x\div 5={\frac {x}{5}}$小时。 而总时间为$5$小时，所以可以列出一元一次方程式${\frac {x}{3}}+{\frac {x}{5}}=5$。 解${\frac {x}{3}}+{\frac {x}{5}}=5$可以同乘$15$得到$5x+3x=75\Rightarrow 8x=75\Rightarrow x={\frac {75}{8}}$， 故山路长${\frac {75}{8}}$公里。 答案：${\frac {75}{8}}$公里。

例题$6$ 仕杰每天以固定速率骑脚踏车走相同的路程去上课，他需要花$15$分钟才能到学校，但如果他把时速提升$5$公里，则他可以提早$5$分钟到学校。请问仕杰平时固定以每小时多少公里的速度骑脚踏车到学校？

解 假设仕杰每天以时速$x$公里上学，因为我们知道仕杰的速率与时间，故我们应该用$x$表示距离。 因为原本的速率为时速$x$公里，所以他上学的距离原本是${\frac {15x}{60}}={\frac {x}{4}}$公里，而增加时速为$(x+5)$公里，所以他上学的距离利用新速率算是${\frac {10(x+5)}{60}}={\frac {x+5}{6}}$公里。都是相同路程，所以可以列出一元一次方程式${\frac {x}{4}}={\frac {x+5}{6}}$。 解${\frac {x}{4}}={\frac {x+5}{6}}$可以同乘$12$得到$3x=2(x+5)\Rightarrow 3x=2x+10\Rightarrow x=10$， 故仕杰每天以时速$10$公里的速度上学。 答案：时速$10$公里。

你注意到了吗？简单来说，速率问题一定会有一个(距离、时间、速率)是知道的，其中一个是你假设的，所以利用这两个关系找出第三个，就能够作速率问题喽！

年龄问题

年龄问题的核心在于年龄问题是共进退的，一个增加几岁，另外一个也会增加几岁；同理，一个减少几岁，另外一个也会减少几岁。另外，两人在每一个年度的年龄差是相等的。

例题$7$ 阿姨和冠群今年相差$28$岁。五年前，阿姨的年龄是冠群的$3$倍少$4$岁，则阿姨今年几岁？

解 假设阿姨五年前$x$岁，则冠群五年前$(x-28)$岁， 又已知当时阿姨的年龄是冠群的$3$倍少$4$岁，故可以列出一元一次方程式$x=3(x-28)-4$。 解$x=3(x-28)-4$先展开再移项化简可得$x=3x-84-4\Rightarrow -2x=-88\Rightarrow x=44$ 故阿姨今年$44+5=49$岁。 答案：阿姨今年$49$岁。

几何问题

解几何问题有的时候会需要使用一元一次方程式来解题。这类的问题会使用几何图形的基本性质列出等式，之后解出未知数。常见的几何性质有：

• 三角形内角和$180$度，外角和$360$度。
• 面积公式。
  1. 长方形面积公式为长$\times$宽。
  2. 平行四边形的面积公式为底$\times$高。
  3. 三角形面积公式为${\frac {1}{2}}\times$底$\times$高。
  4. 梯形面积公式为${\frac {1}{2}}\times ($上底$+$下底$)\times$高。
• 周长公式。
  1. 正方形周长公式为边长$\times 4$。
  2. 长方形周长公式为$($长$+$宽$)\times 2$。
  3. 平行四边形周长公式为邻边之和$\times 2$。
  4. 正多边形周长公式为边长$\times$边数。
  5. 圆形周长公式为半径$\times 2\times$圆周率$=$直径$\times$圆周率。

例题$8$ 有一个梯形，它的面积为$72$平方公分，其中上底比下底长$4$公分，高为$8$公分，则此梯形的上底为多少公分？

解 假设梯形上底为$x$公分，下底为$x-4$公分，因为已知高与面积，故可以列出一元一次不等式${\frac {1}{2}}\times \ [x+(x-4)]\times 8=72\Rightarrow (2x-4)\times 8=144\Rightarrow 2x-4=18\Rightarrow 2x=22\Rightarrow x=11$，故上底为$11$公分。 答案：$11$公分

数学魔术

有些数学魔术可以利用一元一次方程式来解题。此类问题会先假设原本的数字为$x$，然后依据魔术过程列出等式，再解$x$求得对方心里想的数。有时也会利用到一元一次式的化简，因为原本的式子只是恒等式，所以必定会获得某一种结果。

例题$9$ 平次想要展示魔术给和叶。平次请和叶先想一个大于$10$的二位数，然后将这个数先乘以$5$，然后减去$4$，答案再乘以$2$，和叶的结果为$152$，则和叶心里想的数是多少？

解 假设和叶想的数是$x$，依题意，先乘以$5$得到$5x$，然后减去$4$得到$5x-4$，最后再乘以$2$得到$2(5x-4)$，而这个数是$152$，所以列出一元一次方程式$2(5x-4)=152$。展开得$10x-8=152$，移项得$10x=160$，$x=16$，和叶想的数是$16$。

上面这个例题的魔术变法就是只要她的答案前两位数加$1$就是答案。

习题
请你自己设计一个数学魔术！这个数学魔术至少要让参加者做三个步骤以上。

不合理的解

在解应用问题的时候要注意有的时候答案可能会出现不合理的情况。如爸爸的年纪小于儿子、人数为非正整数、边长为负数等等。这时，我们会称此应用问题没有合理的解。

例题$10$：不合理的解 若四个连续奇数的和是$60$，试求出此四个连续奇数分别是多少？

解 设最小的奇数为$x$，则另外三数分别是$(x+2)$、$(x+4)$与$(x+6)$， 注意 任意两个连续奇数都相差$2$。 依题意可以列出一元一次方程式$x+(x+2)+(x+4)+(x+6)=60$， 化简得$4x+12=60\Rightarrow 4x=48\Rightarrow x=12$，但$x$为奇数，故不合，此题无解。