国中数学/国中数学七年级/4-1 二元一次方程式

3-3 一元一次方程式的应用问题

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国中数学七年级 4-1 二元一次方程式

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4-2 解二元一次联立方程式

生活当中，常常会发生两个变数在变动的情形。举例来说：

• 全班有男生和女生。
• 使用五元硬币和十元硬币购买商品。
• 许多地方的收费标准会分为全票与半票。

这个时候，如果只有设一个未知数感觉又不太实际。所以在这一节，我们要介绍由两个未知数所构成的二元一次式，并进一步地介绍二元一次方程式，在4-2 解二元一次联立方程式进一步会去解两个未知数的式子。

二元一次式

以刚刚举的例子为例：

• 若班上有$a$位男学生和$b$位女学生，则全班有$(a+b)$位学生。
• 小琪买早餐花了$x$枚五元硬币和$y$枚十元硬币，
  1. $x$枚五元硬币的价值为$5x$元。
  2. $y$枚十元硬币的价值为$10y$元。
  3. 所以小琪买早餐花了$(5x+10y)$元。
• 动物园入园半票每张$x$元，全票每张$y$元，雨辰一家人到动物园玩，总共买了$2$张半票和$4$张全票，又
  1. 半票每张$x$元，买$2$张要$2x$元。
  2. 全票每张$y$元，买$4$张要$4y$元。
  3. 所以雨辰一家人的门票费为$(2x+4y)$元。

以上出现的式子$a+b$、$5x+10y$、$2x+4y$这种出现两个未知数，而且未知数的次方都是$1$的式子我们称作二元一次式。
这边要注意一些不是二元一次式的情况：

不是二元一次式的情形	举例
分母出现未知数	${\frac {1}{x}}+{\frac {4}{y}}$
未知数出现在绝对值内	$\left\vert x-y+3\right\vert$、$\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert +3$
出现了等号	$x+3y=12$
未知数的次方不是$1$	$x^{2}+y^{2}-4$
未知数相乘	$xy-2$

二元一次式的名词

跟一元一次式类似，以下是二元一次式的常用名词：

名称	说明	以$3x-4y+7$为例子
项	用加号连接的各部分	因为$3x-4y+7=3x+(-4y)+7$，所以$3x$、$-4y$与$7$都称作$3x-4y+7$的项。
$x$项与$y$项	有出现一次未知数$x$或$y$的项。	因为$3x$有出现未知数$x$，所以$3x-4y+7$的$x$项为$3x$；因为$-4y$有出现未知数$y$，所以$3x-4y+7$的$y$项为$-4y$。
常数项	没有出现任何未知数的项	因为$7$没有出现未知数，所以$3x-4y+7$的常数项为$7$。
系数	未知数前面的数字或是常数项	在$3x$中，未知数$x$前面的数字为$3$，所以称$3$为$3x-4y+7$的$x$项系数；在$-4y$中，未知数$y$前面的数字为$3$，$-4$为$3x-4y+7$的$y$项系数。
单项式	只有单一一个项的式子	$3x$只有一项，所以为单项式。
同类项	具有相同的未知数，而且次方数也相同的两个项	$3x$与$3y$的未知数不相同，所以它们不是同类项；$3x$与$-{\frac {13x}{17}}$的未知数相同，次数也都是$1$，所以它们是同类项。

小测

答对加上的分数：
答错的分数：
忽略问题的系数：

1 $4y-7x+12$的$x$项系数是多少？(单选)

	$4$
	$7$
	$-7$
	$12$

2 哪一个选项的$y$项系数是$5$？(单选)

	$4x+5y-7$
	$5x-4y+6$
	$-x+7y+5$
	$3x-5y-2$

3 哪一组为同类项？(单选)

	$4x$与$4y$
	$7$与$5y$
	$-7y$与$12y$
	$3x+4y$与$4x+3y$

二元一次式的运算

二元一次式的运算如同一元一次式的运算相同，只是多了一个未知数而已。

• 二元一次式的加减运算：利用同类项合并与去括号规则。
  1. 同类项合并：将相同未知数的系数相加(减)。如：$5y+2y=(5+2)y=7y$；$5x-3x=(5-3)x=2x$，本质上为分配律。
  2. 去括号规则：括号外为加号，则括号内的运算符号不用改变；括号外为减号，则括号内的运算符号加改减，减改加。如：$-(5x+2y)=-5x{\color {red}-}2y$；$-(-5x-3y)=5x{\color {red}+}3y$。
• 二元一次式的系数积：利用分配律。
  • 如：
    1. $3(2x-4y+5)=3\times (2x)-3\times (4y)+3\times 5=6x-12y+15$；
    2. $-4(3x-2y-6)=(-4)\times (3x)-(-4)\times (2y)-(-4)\times 6=-12x-(-8y)-(-24)=12x+8y+24$。
• 分数型的运算：通分。
  • 如：
    • ${\frac {3x+2y-4}{3}}-{\frac {2x+5y-4}{2}}={\frac {6x+4y-8}{6}}-{\frac {6x+15y-12}{6}}={\frac {(6x+4y-8)-(6x+15y-12)}{6}}={\frac {-11y+4}{6}}$

二元一次方程式

当一个方程式可以整理成$ax+by+c=0$，其中$a,b,c$为任何数，则我们称这样的式子为二元一次方程式。
以下是一些例子：

1. $3x+4y=5$是二元一次方程式，因为$3x+4y=5$可以改写成$3x+4y-5=0$。
2. $3x+4y=5x$是二元一次方程式，因为$3x+4y=5x$可以改写成$3x+4y-5x=0\Longrightarrow -2x+4y=0$。
3. $3x+4y=5+4y$不是二元一次方程式，因为$3x+4y=5+4y$可以改写成$3x+4y-5-4y=0\Longrightarrow 3x-5=0$只有出现一个未知数。