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国中数学七年级
4-1 二元一次方程式

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生活当中，常常会发生两个变数在变动的情形。举例来说：

这个时候，如果只有设一个未知数感觉又不太实际。所以在这一节，我们要介绍由两个未知数所构成的二元一次式，并进一步地介绍二元一次方程式，在4-2 解二元一次联立方程式进一步会去解两个未知数的式子。

二元一次式

以刚刚举的例子为例：

若班上有 $a$ 位男学生和 $b$ 位女学生，则全班有 $(a + b)$ 位学生。
小琪买早餐花了x枚五元硬币和y枚十元硬币，
1. $x$ 枚五元硬币的价值为 $5 x$ 元。
2. $y$ 枚十元硬币的价值为 $10 y$ 元。
3. 所以小琪买早餐花了 $(5 x + 10 y)$ 元。
动物园入园半票每张x元，全票每张y元，雨辰一家人到动物园玩，总共买了2张半票和4张全票，又
1. 半票每张 $x$ 元，买 $2$ 张要 $2 x$ 元。
2. 全票每张 $y$ 元，买 $4$ 张要 $4 y$ 元。
3. 所以雨辰一家人的门票费为 $(2 x + 4 y)$ 元。

以上出现的式子 $a + b$ 、 $5 x + 10 y$ 、 $2 x + 4 y$ 这种出现两个未知数，而且未知数的次方都是 $1$ 的式子我们称作二元一次式。
这边要注意一些不是二元一次式的情况：

跟一元一次式类似，以下是二元一次式的常用名词：

名称	说明	以 $3 x - 4 y + 7$ 为例子
项	用加号连接的各部分	因为 $3 x - 4 y + 7 = 3 x + (- 4 y) + 7$ ，所以 $3 x$ 、 $- 4 y$ 与 $7$ 都称作 $3 x - 4 y + 7$ 的项。
$x$ 项与 $y$ 项	有出现一次未知数 $x$ 或 $y$ 的项。	因为 $3 x$ 有出现未知数 $x$ ，所以 $3 x - 4 y + 7$ 的 $x$ 项为 $3 x$ ；因为 $- 4 y$ 有出现未知数 $y$ ，所以 $3 x - 4 y + 7$ 的 $y$ 项为 $- 4 y$ 。
常数项	没有出现任何未知数的项	因为 $7$ 没有出现未知数，所以 $3 x - 4 y + 7$ 的常数项为 $7$ 。
系数	未知数前面的数字或是常数项	在 $3 x$ 中，未知数 $x$ 前面的数字为 $3$ ，所以称 $3$ 为 $3 x - 4 y + 7$ 的 $x$ 项系数；在 $- 4 y$ 中，未知数 $y$ 前面的数字为 $3$ ， $- 4$ 为 $3 x - 4 y + 7$ 的 $y$ 项系数。
单项式	只有单一一个项的式子	$3 x$ 只有一项，所以为单项式。
同类项	具有相同的未知数，而且次方数也相同的两个项	$3 x$ 与 $3 y$ 的未知数不相同，所以它们不是同类项； $3 x$ 与 $- \frac{13 x}{17}$ 的未知数相同，次数也都是 $1$ ，所以它们是同类项。

二元一次式的运算如同一元一次式的运算相同，只是多了一个未知数而已。

二元一次式的加减运算：利用同类项合并与去括号规则。
1. 同类项合并：将相同未知数的系数相加(减)。如： $5 y + 2 y = (5 + 2) y = 7 y$ ； $5 x - 3 x = (5 - 3) x = 2 x$ ，本质上为分配律。
2. 去括号规则：括号外为加号，则括号内的运算符号不用改变；括号外为减号，则括号内的运算符号加改减，减改加。如： $- (5 x + 2 y) = - 5 x - 2 y$ ； $- (- 5 x - 3 y) = 5 x + 3 y$ ^{[注 1]}。
二元一次式的系数积：利用分配律。
- 如：
  1. $3 (2 x - 4 y + 5) = 3 \times (2 x) - 3 \times (4 y) + 3 \times 5 = 6 x - 12 y + 15$ ；
  2. $- 4 (3 x - 2 y - 6) = (- 4) \times (3 x) - (- 4) \times (2 y) - (- 4) \times 6 = - 12 x - (- 8 y) - (- 24) = 12 x + 8 y + 24$ 。
分数型的运算：通分。
- 如：
  - $\frac{3 x + 2 y - 4}{3} - \frac{2 x + 5 y - 4}{2} = \frac{6 x + 4 y - 8}{6} - \frac{6 x + 15 y - 12}{6} = \frac{(6 x + 4 y - 8) - (6 x + 15 y - 12)}{6} = \frac{- 11 y + 4}{6}$

当一个方程式可以整理成 $a x + b y + c = 0$ ，其中 $a, b, c$ 为任何数，则我们称这样的式子为二元一次方程式。^{[注 2]}
以下是一些例子：

$3 x + 4 y = 5$ 是二元一次方程式，因为 $3 x + 4 y = 5$ 可以改写成 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 。
$3 x + 4 y = 5 x$ 是二元一次方程式，因为 $3 x + 4 y = 5 x$ 可以改写成 $3 x + 4 y - 5 x = 0 ⟹ - 2 x + 4 y = 0$ 。
$3 x + 4 y = 5 + 4 y$ 不是二元一次方程式，因为 $3 x + 4 y = 5 + 4 y$ 可以改写成 $3 x + 4 y - 5 - 4 y = 0 ⟹ 3 x - 5 = 0$ 只有出现一个未知数。