国中数学/数的运算规则

以下是国中数学常见的运算规则。

四则运算

以下是四则运算的计算次序：

1. 指数部分。
2. 绝对值部分。
3. 括号：( )$\Rightarrow$ [ ] $\Rightarrow${ }。
4. 先乘除后加减。
5. 从左而右计算。

交换律

设$a$、$b$为两个数，则

1. $a+b=b+a$
2. $a\times b=b\times a$

结合律

设$a$、$b$、$c$为三个数，则

1. $(a+b)+c=a+(b+c)$
2. $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

去括号规则

设$a$、$b$为两个数，则

1. $-(a+b)=-a-b$
2. $-(a-b)=-a+b$
3. $-(-a+b)=a-b$
4. $-(-a-b)=a+b$

分配律

设$a$、$b$、$c$为三个数，则

1. $a\times b+a\times c=a\times (b+c)$
2. $a\times b-a\times c=a\times (b-c)$
3. $b\times a+c\times a=(b+c)\times a$
4. $b\times a-c\times a=(b-c)\times a$

三一律

设$a$、$b$为两个数，则$a>b$、$a<b$与$a=b$恰好只有一个成立。

递移律

设$a$、$b$、$c$为三个数，则

1. 若$a>b$且$b>c$，则$a>c$。
2. 若$a=b$且$b=c$，则$a=c$。
3. 若$a<b$且$b<c$，则$a<c$。

等量公理

参见：等量公理

设$a$、$b$满足$a=b$，$c$为任意一个数，则

1. $a+c=b+c$
2. $a-c=b-c$
3. $a\times c=b\times c$
4. $a\div c=b\div c$ ($c\neq 0$)

消去律

设$a$、$b$、$c$为任意三个数，则

1. 若$a+c=b+c$，则$a=b$。
2. 若$a-c=b-c$，则$a=b$。
3. 若$a\times c=b\times c$($c\neq 0$)，则$a=b$。
4. 若$a\div c=b\div c$ ($c\neq 0$)，则$a=b$。

证明消去律

依序利用等量减法公理、等量加法公理、等量除法公理与等量乘法公理得证。我们证明第3条式子，剩余作为习题。

证明消去律3：

$a\times c=b\times c$
因為$c\neq 0$，所以可以同除以$c$$\Rightarrow a\times c\div c=b\times c\div c$
$\Rightarrow a=b$

习题

证明消去律1、2、4。

不等式的运算

参见：解一元一次不等式

• 设$a$、$b$满足$a<b$，$c$为任意一个数，则
  1. $a+c<b+c$
  2. $a-c<b-c$
  3. 当$c>0$时，$ac<bc$
  4. 当$c<0$时，$ac{\color {red}>}bc$
• 设$a$、$b$满足$a>b$，$c$为任意一个数，则
  1. $a+c>b+c$
  2. $a-c>b-c$
  3. 当$c>0$时，$ac>bc$
  4. 当$c<0$时，$ac{\color {red}<}bc$