# 國中數學/數的運算規則

## 四則運算

1. 指數部分。
2. 絕對值部分。
3. 括號：( )${\displaystyle \Rightarrow }$ [ ] ${\displaystyle \Rightarrow }${ }。
4. 先乘除後加減。
5. 從左而右計算。

## 交換律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$為兩個數，則[註 1]

1. ${\displaystyle a+b=b+a}$
2. ${\displaystyle a\times b=b\times a}$

## 結合律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$為三個數，則[註 2]

1. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
2. ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

## 去括號規則

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$為兩個數，則

1. ${\displaystyle -(a+b)=-a-b}$
2. ${\displaystyle -(a-b)=-a+b}$
3. ${\displaystyle -(-a+b)=a-b}$
4. ${\displaystyle -(-a-b)=a+b}$

## 分配律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$為三個數，則

1. ${\displaystyle a\times b+a\times c=a\times (b+c)}$[註 3]
2. ${\displaystyle a\times b-a\times c=a\times (b-c)}$[註 4]
3. ${\displaystyle b\times a+c\times a=(b+c)\times a}$[註 5]
4. ${\displaystyle b\times a-c\times a=(b-c)\times a}$[註 6]

## 三一律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$為兩個數，則${\displaystyle a>b}$${\displaystyle a${\displaystyle a=b}$恰好只有一個成立。

## 遞移律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$為三個數，則

1. ${\displaystyle a>b}$${\displaystyle b>c}$，則${\displaystyle a>c}$
2. ${\displaystyle a=b}$${\displaystyle b=c}$，則${\displaystyle a=c}$
3. ${\displaystyle a${\displaystyle b，則${\displaystyle a

## 等量公理

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$滿足${\displaystyle a=b}$${\displaystyle c}$為任意一個數，則

1. ${\displaystyle a+c=b+c}$
2. ${\displaystyle a-c=b-c}$
3. ${\displaystyle a\times c=b\times c}$
4. ${\displaystyle a\div c=b\div c}$ (${\displaystyle c\neq 0}$)

## 消去律

${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$為任意三個數，則

1. ${\displaystyle a+c=b+c}$，則${\displaystyle a=b}$
2. ${\displaystyle a-c=b-c}$，則${\displaystyle a=b}$
3. ${\displaystyle a\times c=b\times c}$(${\displaystyle c\neq 0}$)，則${\displaystyle a=b}$
4. ${\displaystyle a\div c=b\div c}$ (${\displaystyle c\neq 0}$)，則${\displaystyle a=b}$

### 證明消去律

${\displaystyle a\times c=b\times c}$

${\displaystyle \Rightarrow a=b}$


## 不等式的運算

• ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$滿足${\displaystyle a${\displaystyle c}$為任意一個數，則
1. ${\displaystyle a+c
2. ${\displaystyle a-c
3. ${\displaystyle c>0}$時，${\displaystyle ac
4. ${\displaystyle c<0}$時，${\displaystyle ac{\color {red}>}bc}$
• ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$滿足${\displaystyle a>b}$${\displaystyle c}$為任意一個數，則
1. ${\displaystyle a+c>b+c}$
2. ${\displaystyle a-c>b-c}$
3. ${\displaystyle c>0}$時，${\displaystyle ac>bc}$
4. ${\displaystyle c<0}$時，${\displaystyle ac{\color {red}<}bc}$

## 注釋

1. 減法和除法沒有交換律。
2. 減法和除法沒有結合律。
3. 除法沒有這個性質：${\displaystyle a\div b+a\div c\neq a\div (b+c)}$
4. 除法沒有這個性質：${\displaystyle a\div b-a\div c\neq a\div (b-c)}$
5. 改成除法也對：${\displaystyle b\div a+c\div a=(b+c)\div a}$
6. 改成除法也對：${\displaystyle b\div a-c\div a=(b-c)\div a}$