高中数学/函数与三角/分段函数、复合函数与反函数的概念

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基础知识

分段函数

函数可以在不同的几个定义域上分别单独给出定义，这样表示的函数叫做分段函数（piecewise function）。分段函数最常用于表达某些人为构造的函数例子，例如图象有间断点的函数、各子区域上对应法则各不相同的函数。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解，这时也会需要用到分段函数的形式表示。

高中阶段涉及分段函数的常见题型是求值题和解方程题。

分段函数的多轮迭代求值

这里列举一些典型的求值时需要多次迭代分段函数的问题。还有一些同类型的多次求值问题涉及函数的递推关系式，我们会在学习周期函数的章节中继续补充此类问题。

相关例题1：设 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}|x-1|-2,\quad |x|\leq 1\\{\frac {1}{1+x^{2}}},\quad |x|>1\end{array}}\right.$ ，求 $f(f({\frac {1}{2}}))$ 的值。

相关例题2：已知 $f(x)={\frac {1}{2}}(x+|x|)$ ，则 $f(f(x))$ 的等价表达式为( )。
A. $x+\left\vert x\right\vert$
B.0
C. $\left\{{\begin{array}{l}x,\quad x\leq 2\\0,\quad x>2\end{array}}\right.$
D. $\left\{{\begin{array}{l}x,\quad x\geq 2\\0,\quad x<2\end{array}}\right.$

相关例题3：设 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}2x-1,\quad x\geq 2\\f(f(x+1))+1,\quad x<2\end{array}}\right.$ ，求 $f(1)$ 的值。

包含分段函数的解方程题

相关例题1：已知函数 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}x(x+4),\quad x\geq 0\\x(x-4),\quad x<0\end{array}}\right.$ ，若 $f(x)=12$ ，求 $x$ 的值。

相关例题2：已知函数 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}x^{2}-1,\quad x\leq 0\\2x-1,\quad x>0\end{array}}\right.$ ，且 $f(a)=1$ ，求 $a$ 的值。

相关例题3：已知函数 $f(x)=\left\{{\begin{array}{l}x+2,\quad x\leq 0\\-x+2,\quad x>0\end{array}}\right.$ ，求方程 $f(x)=x^{2}$ 的解。

函数的简单复合与还原

函数可以彼此相互嵌套，形成复合函数（composite function），其嵌套的过程叫做函数复合（function composition）。 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的复合函数 $f(g(x))$ 可以记作 $g\cdot f$ 。函数的内部发生换元或嵌入其它函数后，定义域一般也会有对应变化。