高中數學/函數與三角/分段函數、複合函數與反函數的概念

基礎知識

分段函數

函數可以在不同的幾個定義域上分別單獨給出定義，這樣表示的函數叫做分段函數（piecewise function）。分段函數最常用於表達某些人為構造的函數例子，例如圖象有間斷點的函數、各子區域上對應法則各不相同的函數。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解，這時也會需要用到分段函數的形式表示。

高中階段涉及分段函數的常見題型是求值題和解方程題。

分段函數的多輪迭代求值

這裡列舉一些典型的求值時需要多次迭代分段函數的問題。還有一些同類型的多次求值問題涉及函數的遞推關係式，我們會在學習周期函數的章節中繼續補充此類問題。

相關例題1：設$f(x)=\{\begin{array}{c}|x-1|-2,|x|\le 1\\ \frac{1}{1+x^2},|x|>1\end{array}$，求$f(f(\frac{1}{2}))$的值。

相關例題2：已知$f(x)=\frac{1}{2}(x+|x|)$，則$f(f(x))$的等價表達式為(    )。
A.$x+\left|x\right|$
B.0
C.$\{\begin{array}{c}x,x\le 0\\ 0,x>0\end{array}$
D.$\{\begin{array}{c}x,x\ge 0\\ 0,x<0\end{array}$

相關例題3：設$f(x)=\{\begin{array}{c}2x-1,x\ge 2\\ f(f(x+1))+1,x<2\end{array}$，求$f(1)$的值。

包含分段函數的解方程題

相關例題1：已知函數$f(x)=\{\begin{array}{c}x(x+4),x\ge 0\\ x(x-4),x<0\end{array}$，若$f(x)=12$，求$x$的值。

相關例題2：已知函數$f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^2-1,x\le 0\\ 2x-1,x>0\end{array}$，且$f(a)=1$，求$a$的值。

相關例題3：已知函數$f(x)=\{\begin{array}{c}x+2,x\le 0\\ -x+2,x>0\end{array}$，求方程$f(x)=x^2$的解。

函數的簡單複合與還原

函數可以彼此相互嵌套，形成複合函數（composite function），其嵌套的過程叫做函數複合（function composition）。$f(x)$和$g(x)$的複合函數$f(g(x))$可以記作$g\cdot f$。函數的內部發生換元或嵌入其它函數後，定義域一般也會有對應變化。

相關例題1：已知函數$f(x)=x^2$，求函數$g(x)=\frac{f(3x)}{x}$的表達式。

相關例題2：已知函數$f(x)$的定義域為[-2, 1]，求函數$f(3x-1)$的定義域。

相關例題3：已知$f(x)$的定義域為[-2, 2]，求$g(x)=\frac{f(x-1)}{\sqrt{2x+1}}$的定義域。

相關例題4：已知函數$f(x-2)$的定義域為[0, 2]，求函數$f(2x-1)$的定義域。

相關例題5：已知$f(x)$是一次函數，且$f(x-1)=3x-5$，求$f(x)$的表達式。

相關例題6：已知函數$f(x)$滿足$f(2x+1)=x^2-2x$，求$f(x)$的表達式。

相關例題7：若函數$f(x-1)=2x-5$，且$f(2a-1)=6$，求a的值。

反函數

原函數與其反函數的圖象關於特殊直線$y=x$一定是軸對稱的。

常用結論與常見模型

稍複雜的函數解析式求解

對於一些稍複雜的求函數解析式的題目，經常需要用到如下技巧：

• 換元法
• 構造函數方程組法

其中，函數方程是指包含未知函數的方程，而函數方程組是同時成立的多個函數方程。大部分函數方程難以求解或是沒有唯一解。除了本節介紹的簡單類型，還有少數易解的函數方程會在函數方程簡介章節介紹。

相關例題：已知函數$f(x)$滿足$f(x)=2f(\frac{1}{x})+3x$，求$f(x)$的表達式。

外部連結

維基百科中的相關條目：

分段函數

維基百科中的相關條目：

複合函數

維基百科中的相關條目：

反函數