高中數學/函數與三角/分段函數、複合函數與反函數的概念

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閱讀指南[編輯]

基礎知識[編輯]

分段函數[編輯]

函數可以在不同的幾個定義域上分別單獨給出定義,這樣表示的函數叫做分段函數piecewise function)。分段函數最常用於表達某些人為構造的函數例子,例如圖象有間斷點的函數、各子區域上對應法則各不相同的函數。某些特殊方程在不同的情形下有不同的解,這時也會需要用到分段函數的形式表示。

高中階段涉及分段函數的常見題型是求值題和解方程題。

分段函數的多輪迭代求值[編輯]

這裏列舉一些典型的求值時需要多次迭代分段函數的問題。還有一些同類型的多次求值問題涉及函數的遞推關係式,我們會在學習周期函數的章節中繼續補充此類問題。

Crystal Clear action edit 相關例題1:設,求的值。

Crystal Clear action edit 相關例題2:已知,則的等價表達式為(    )。
A.x + |x|
B.0
C.
D.

Crystal Clear action edit 相關例題3:設,求的值。

包含分段函數的解方程題[編輯]

Crystal Clear action edit 相關例題1:已知函數,若,求x的值。

Crystal Clear action edit 相關例題2:已知函數,且,求a的值。

Crystal Clear action edit 相關例題3:已知函數,求方程的解。

函數的簡單複合與還原[編輯]

函數可以彼此相互嵌套,形成複合函數composite function),其嵌套的過程叫做函數複合function composition)。f(x)和g(x)的複合函數f(g(x))可以記作g·f。函數的內部發生換元或嵌入其它函數後,定義域一般也會有對應變化。

Crystal Clear action edit 相關例題1:已知函數,求函數的表達式。

Crystal Clear action edit 相關例題2:已知函數的定義域為[-2, 1],求函數的定義域。

Crystal Clear action edit 相關例題3:已知的定義域為[-2, 2],求的定義域。

Crystal Clear action edit 相關例題4:已知函數的定義域為[0, 2],求函數的定義域。

Crystal Clear action edit 相關例題5:已知是一次函數,且,求的表達式。

Crystal Clear action edit 相關例題6:已知函數滿足,求的表達式。

Crystal Clear action edit 相關例題7:若函數,且,求a的值。

反函數[編輯]

原函數與其反函數的圖象關於特殊直線y = x一定是軸對稱的。

常用結論與常見模型[編輯]

分段的複合函數[編輯]

稍複雜的函數解析式求解[編輯]

對於一些稍複雜的求函數解析式的題目,經常需要用到如下技巧:

  • 換元法
  • 構造函數方程組法

其中,函數方程是指包含未知函數的方程,而函數方程組是同時成立的多個函數方程。大部分函數方程難以求解或是沒有唯一解。除了本節介紹的簡單類型,還有少數易解的函數方程會在函數方程簡介章節介紹。

Crystal Clear action edit 相關例題:已知函數滿足,求的表達式。

參考資料[編輯]

外部連結[編輯]

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