常微分方程是未知函数只含有一个自变量的微分方程。
其实,在之前的学习过程中,你已经研究过一些非常简单的微分方程的解。比如说
![{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f74da516e71a1a07aae2869edcc0005ccbe248)
其中
为函数,你实际上是在解微分方程
![{\displaystyle g'(x)=f(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceafd865e47f19e8f506f6b11340a1cb042ff033)
使用恰当的符号可以让我们解微分方程更容易。
本文将主要使用以下四个符号来表示
的导数:
![{\displaystyle \mathrm {D} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e032a04885eef7671d223dcc9e7c5109e89c940c)
![{\displaystyle f'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b)
![{\displaystyle \mathrm {d} f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f07af1376e3e468900fa251f847b5c0755e7dc4)
(用于可分离变量方程)
考虑如下微分方程
![{\displaystyle 3f^{\prime \prime }(x)+5xf(x)=11}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef7728145d7f74bcb71cff9a52ad4c3e8a08492e)
方程中导数最高为2阶,因此我们说该方程为二阶微分方程。
求解微分方程的一个关键思想是积分。
我们来考虑下面这个二阶微分方程
![{\displaystyle f''(x)=2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e560bc22f448827932c6ba1823aa3c62d593e3)
我们怎么解决这个问题呢?方程告诉我们,求两次导以后,得到常数2,所以,如果我们积分两次,应该就能算出答案。
积分一次:
![{\displaystyle \int f''(x)\,dx=\int 2\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799d36fcd7f3e2ad723f1b1c7c9e42263127cf40)
![{\displaystyle f'(x)=2x+C_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5563bf11065d17665507de8825b62057e0d69f7)
我们已经把困难的二阶微分方程转化成了一个简单点的方程,即
![{\displaystyle f'(x)=2x+C_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5563bf11065d17665507de8825b62057e0d69f7)
这个等式告诉我们,把函数求一次导,可以得到
。我们再积分一次,就能算出答案了。
![{\displaystyle \int f'(x)\,dx=\int 2x+C_{1}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e023c30c6054e809cfc428c3f3e027b7255d1e)
![{\displaystyle f(x)=x^{2}+C_{1}x+C_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38da9dd32ef5feb77bfef0e09b1488b4599d4f34)
这就是微分方程的解。对任意
和
,都有
。
和
与初始条件的值有关。如果待解方程给定了初始条件,我们可以在积分之后替换进去。
求解
,初始条件为
,
。
解答过程会比上面多这么几步:
![{\displaystyle f'(0)=2(0)+C_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fdee784acd397e0928d67a6a29b8ad3c31ad8b)
![{\displaystyle 3=C_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d045f050f107ad83b926eecf624362fc858236e2)
![{\displaystyle \int f'(x)\,dx=\int 2x+3\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c11b3f08c5e436f71861086caaad2a07de6ce8a)
![{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+C_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a16cbc71b6f818e6abe4904a05d2625bc7c8248)
![{\displaystyle f(0)=0^{2}+3(0)+C_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aef5b46445a229a145ece8c28e468c4a4ec917)
![{\displaystyle 2=C_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd16c2261a383c9bc2fb25c71484286f8d618e9b)
![{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5795f8e1ad400d797a6e50f97ddaa49fe12af2d1)
如果没有初始条件,我们算出的答案就叫通解;如果有初始条件,就叫特解。
在本节中,我们将研究四种微分方程:
此外,还有许多其他形式的微分方程,将在下一节中讨论。
可分离变量方程基本形式为(这里使用
更方便)
![{\displaystyle {dy \over dx}={f(x) \over g(y)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b45cea9791d5d2d1e5c6326c4f05dfd83beb2dd8)
之前我们只处理过
的微分方程。上面那个可分离变量方程怎么解决呢?
我们把变量
和
、
和
放到一起
![{\displaystyle g(y)\ dy=f(x)\ dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80091638cdf231f5a1edf8e7c3d534e82a74339)
两边分别对
和
积分
![{\displaystyle \int g(y)\,dy=\int f(x)\,dx+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d9a1e4fb90ae895e14c7e071ed9871d6af72a5)
便能得到解答。
求解
![{\displaystyle {dy \over dx}=3x^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336b5e485180d6fb1526acf0b96ba1f96a970aae)
分离变量
![{\displaystyle {dy \over y}=(3x^{2})\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc004dbefd1ffbd911227186f9b8176cb0acdf2)
两边积分
![{\displaystyle \int {dy \over y}=\int 3x^{2}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e9aa7637e2580fed67897aed0dfb0f88bf2e55)
![{\displaystyle \ln {y}=x^{3}+C\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fe7755e3cfc13d819b5a32ae697f618b271c3b8)
![{\displaystyle y=e^{x^{3}+C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0020b383078ed7aee61acd266936c1945552f9c3)
令
,其中
为常数,得到
![{\displaystyle y=ke^{x^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b31b593070b27f04a6d742e1fe8ed70d163c6ac)
这便是上述方程的通解。
这一步不是必要的,但是可以用来验证答案的正确性。
我们算出来的答案是
![{\displaystyle y=ke^{x^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b31b593070b27f04a6d742e1fe8ed70d163c6ac)
题目是
![{\displaystyle {dy \over dx}=3x^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336b5e485180d6fb1526acf0b96ba1f96a970aae)
把答案对
微分,得
![{\displaystyle {dy \over dx}=3kx^{2}e^{x^{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b374c5a9eef3801fc16a04e1efae9726c6a44a8)
由于
,所以
![{\displaystyle {dy \over dx}=3x^{2}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/336b5e485180d6fb1526acf0b96ba1f96a970aae)
我们得到了题给的微分方程,因此我们的答案是正确的。
齐次方程形式为
![{\displaystyle {dy \over dx}=f({y \over x})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262cf23a4949bc162eb90199c2b9fcc9ac105875)
这看起来很困难,但我们可以令
,得到
![{\displaystyle {dy \over dx}=f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3677d908d712b35a7223f979355795bda27ae57)
现在只需处理
而非
了。
再用
来表示
,即
,
![{\displaystyle {dy \over dx}={dvx \over dx}=v+x{dv \over dx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d8be14b1ba8bb4e50692f34e450158fe780c1b)
于是
![{\displaystyle v+x{dv \over dx}=f(v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3908cf2bef7567cf3d6daebb7a66e7c2e8501b06)
![{\displaystyle x{dv \over dx}=f(v)-v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfe7c19244eb356b80075bbddcd20895f2e4db4)
![{\displaystyle {dv \over dx}={f(v)-v \over x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4191fe9365a1747d802bd3b5a26d03a3d03dd19)
就变成了可分离变量方程。
求解
![{\displaystyle {dy \over dx}={y^{2}+x^{2} \over yx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b73ae0da64493089fb6d7e510601882b8632ce5)
我们把式子写成这样
![{\displaystyle {dy \over dx}={y^{2} \over yx}+{x^{2} \over yx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2b0338bf75e9892a27aebd618b3ffd2e737826)
![{\displaystyle {dy \over dx}={x \over y}+{y \over x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee716a019a6557a052c8488ecd09a2aefe523c4)
令
,得到
![{\displaystyle {dy \over dx}={1 \over v}+v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef253d9a036e3fc038fefc187a91a83982cfd6f)
再用
来表示
![{\displaystyle v+x{dv \over dx}={1 \over v}+v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3e370139c4c2bf32d6c88ace37280f72fa8d86)
两边消去
,化简
![{\displaystyle x{dv \over dx}={1 \over v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b64cf709c4ecc9f61d3fcca6f31718db1fb7837)
分离变量
![{\displaystyle v\,dv={dx \over x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dce547b1be562ab955510880082877b5c96996e)
两边积分
![{\displaystyle {1 \over 2}v^{2}+C=\ln(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf61f3c0196bdb3b7a38d7b29a9d72f2b17d64f)
![{\displaystyle {1 \over 2}\left({y \over x}\right)^{2}=\ln(x)-C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78361b5368adbb05559c7f5264b506c7af283e3f)
![{\displaystyle y^{2}=2x^{2}\ln(x)-2Cx^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924b27cb171e46e32d469995a3e7f5c13c72b7b4)
![{\displaystyle y=x{\sqrt {2\ln(x)-2C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f6bbf3810a7c70a09b31cc7c1e497932bec1ac)
这便是上述方程的通解。
一阶线性微分方程形式为
![{\displaystyle a(x){dy \over dx}+b(x)y=c(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ab9f26185f010c63d2ed530799d3387a796351)
注意到方程两边同时乘或除
的任意非零函数,都不会对解产生影响。
乍一看,等式左边不能直接积分。但是,有一个特殊情况。如果
是
的导数,我们就可以这么办
![{\displaystyle a(x){dy \over dx}+b(x)y=a(x){dy \over dx}+y{da \over dx}={d \over dx}a(x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767aed2a20c76a0888a1525939fbe349cfcd060f)
现在,积分就很简单了。
我们把原方程两边同时乘以任意一个函数
,得到
![{\displaystyle aI{dy \over dx}+bIy=cI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e41bc16e602f4502e726b068afca7bcee8096bd)
我们假设如下条件:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}aI=bI}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2ef1a8b5ca9cbb4e847bf684a343e517088356f)
如果这个条件满足,就可以用上面说的那种办法了。
这个条件其实等价于
![{\displaystyle {\frac {1}{I}}{\frac {dI}{dx}}={\frac {b-{\frac {da}{dx}}}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704009cb0dfc7990aee6793378d2e84558274240)
积分,得
![{\displaystyle \ln I(x)=\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz-\ln a(x)+c\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15788026ad2ead558ed6ae7c7e84c042889e01b3)
![{\displaystyle I(x)={\frac {k}{a(x)}}e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65be129dcd7d5064248ff309a263a763c709ec0d)
把常数
设为1,不会对结果产生影响。
代入原方程,得
![{\displaystyle e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{dy \over dx}+e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {b(x)}{a(x)}}y=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9727ae2a505eaf80d5b057258f6b5775333fd0aa)
化简,得
![{\displaystyle {d \over dx}(ye^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz})=e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6046f990a02c6123e9ab0f17e055739c90b9d7dd)
两边积分并除以
得
![{\displaystyle y=e^{-\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}\left(\int e^{\int {\frac {b(z)}{a(z)}}dz}{\frac {c(x)}{a(x)}}dx+C\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88d36eaa09d53e330494600dd4a314ae4fff779b)
我们称
为积分因子。类似的方法也可用于其他一些微积分问题。
求解
,初始条件为![{\displaystyle y(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343c32f38bb379b4b208477b130d8f522d3f0788)
首先算出积分因子
![{\displaystyle I=e^{\int \tan xdx}=e^{\ln \sec x}=\sec x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b29237492534d6417febc04c95248b43096b16d)
方程两边同时乘
,得
![{\displaystyle \sec x{\frac {dy}{dx}}+y\sec x\tan x=\sec x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b638346bc9d89ffb01048f2cd371c0c35b5c6dcc)
或
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}y\sec x=\sec x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6262a361a913d4efa9668805a0a648610a51fa)
积分,得
![{\displaystyle y=\cos x\int _{0}^{x}\sec z\,dz=\cos x\ln(\sec x+\tan x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc206cfee06f4f09c2673305069145e51d65205c)
全微分方程形式为
![{\displaystyle f(x,y)dx+g(x,y)dy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a255bd8a3cb21d913a2156b33a2489eb55398d)
且有性质
(即
对
的导数等于
对
的导数)
(如果微分方程没有这个性质,那么我们就不能再继续解下去了。)
因此,如果我们有一个全微分方程,那么就存在一个函数
使得
,且![{\displaystyle D_{x}h=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d5d6a4b0df774cfd8b297cdb419acd2a9e452d)
于是解的形式为
![{\displaystyle h(x,y)=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2089a4fa520105ae9a2df6c6c3402b0e3a4616e1)
便可通过积分找到
。
阶常微分方程的通解会含有
个积分常量。要把它们都计算出来,我们还需要
个方程。大多数情况下,题目会给定
- 边缘条件,即
取两个不同的值时
及其导数的值
或者
- 初始条件,即
取某一值时
及其前
阶导数的值。
一、如果自变量
不出现在微分方程中,那么我们便可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。
考虑方程
![{\displaystyle F\left(y,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc31819edcf6b3eb516ff1e34efb92417b35155)
令
![{\displaystyle u={\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c46524c3cc59935e59ed77b785ea7337d486b0d)
则
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dy}}\cdot u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/036e0feab99f31415f07ff3e2d392eb2baba2010)
将这两个表达式代入原方程,我们得到
=0
这便是一个一阶微分方程。
求解
![{\displaystyle 1+2y^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f428332eaf3c647d2583e357c07d4e07168be87)
其中当
时,
。
首先,我们进行代换,得到
![{\displaystyle 1+2y^{2}u{\frac {du}{dy}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a808dd57d95a46b19ac677a514bf1e2b154e4d)
这是一个一阶常微分方程。整理并分离变量,得
![{\displaystyle udu=-{\frac {dy}{2y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ac2fbdad5750175e78ad6f28adce53cc190774)
两边积分,得
![{\displaystyle {\frac {u^{2}}{2}}=c+{\frac {y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0a3f68d4739a43a03a7006fb4d1baf8c1e9e08)
我们知道了当
时
和
的值,所以我们可以求出
![{\displaystyle c={\frac {u^{2}}{2}}-{\frac {y}{2}}={\frac {1^{2}}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 1}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68995c7809d2ef9aee4c53e863815d4fa8e8d3b3)
接下来
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}^{2}=u^{2}={\frac {1}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed16d98090362b53879ec5c2330eb39630bdf22)
然后开平方根
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43ae0b79ce3a7f53725bebf8b385fbf0258113d)
要找到根号外面是取正号还是取负号,我们可以再用一遍初始条件,便可以把符号排除,得到
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9c7649b01367351417079d613dee8923b883e4)
其解为
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}y^{\frac {3}{2}}=x+d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ebdd6bbf705adad54a4e1ed01d2229c41f9be7d)
因为当
时
,所以
,于是
![{\displaystyle y=\left(1+{\frac {3x}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018fa792f0f13f53d59bc4d6683c2fd668bbb8e9)
二、如果因变量
不出现在微分方程中,那么我们也可以把二阶微分方程降为一阶微分方程。
考虑方程
![{\displaystyle F\left(x,{\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6686a9a46175a9d8acbadd2fed631c2b8bf5dc98)
令
![{\displaystyle u={\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c46524c3cc59935e59ed77b785ea7337d486b0d)
则
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {du}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36f37816303c8d4f6e28782167e6eaa881bb445a)
将这两个表达式代入原方程,我们得到
=0
这便是一个一阶微分方程。
称形如
![{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}y=F(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0738d2fa912aa1d689576b892de77e59a1e09a)
的常微分方程为线性。这类方程比典型的非线性常微分方程更容易解决。初等函数只能解决少数特殊情况,但一般的线性常微分方程的解法超出本书讨论范围。
若对任意
,
,则称该常微分方程齐次。
一般的线性方程有这么两个有用的性质:
- 一个齐次线性方程的解的任意线性组合都是该方程的解;
- 如果已知一个非齐次线性方程的解,我们给它加上对应的齐次线性方程的任意一个解,就会得到该非齐次线性方程的另一个解。
假设我们有一个线性常微分方程
![{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{n}(x)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b421bc46cec4e7e936772d29c6111549f981ed)
并且我们知道它的一个解为
。
由性质可知
总是原方程的一个解,因此方程便变为
的
阶线性方程。
我们知道
为常数是方程的一个解,因此
的这个常微分方程一定不含有
项,所以它实际上是一个
阶线性常微分方程,这样便使方程降了一阶。
求解
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {6}{x^{2}}}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb312bb783a0e06b56b3a9d143f449c8e957375)
方程的一个解为
,因此我们把
代入方程,得到
![{\displaystyle \left(x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+4x{\frac {dz}{dx}}+2z\right)+{\frac {2}{x}}\left(x^{2}{\frac {dz}{dx}}+2xz\right)-{\frac {6}{x^{2}}}x^{2}z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c99fd207fe89d2bc990cb366c1b4f9a3eda69b9b)
化简,得
![{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+6x{\frac {dz}{dx}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02aeb94cc62cdf0a133958416c7716cb72a57dd1)
这是一个
的一阶方程,解得
,![{\displaystyle y=Cx^{-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e20c6fcd46bf52bca92344f5a37424be3ec9a5)
由于方程是线性的,两个解的线性组合便是通解,即
![{\displaystyle y=C_{1}x^{-3}+C_{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2761b59ee474357ec922aae3465117a00a99870)
假设我们有一个常微分方程
![{\displaystyle (D^{n}+a_{1}D^{n-1}+...+a_{n-1}D+a_{0})y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073b2e7c06b6b44b02e388e9938e222505f3f26c)
我们猜测有一个解为
![{\displaystyle y=e^{px}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b2b6e1d3e8eb54c490f0a7eafd01ae07e21dbc)
这个函数
,因此方程变为
![{\displaystyle (p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0})y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7afd61f6862daa56268b2ecafc796639826d778)
显然是一个解,不考虑。我们只需研究
![{\displaystyle p^{n}+a_{1}p^{n-1}+...+a_{n-1}p+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee85abe09c3d5fca702615b2d0bedf7f2c4c62e8)
这是原方程的特征方程。
这个方程可以有多达
个解
,每一个
都对应着原方程的一个解。
由于方程是线性的,
个解的线性组合便是通解,即
![{\displaystyle y=C_{1}e^{p_{1}x}+C_{2}e^{p_{2}x}+...+C_{n}e^{p_{n}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e6ef2672bb396a5bfb3447a02b4a3da14d57fe)
如果常微分方程是二阶
![{\displaystyle D^{2}y+bDy+cy=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6674bf517f1bb65d7b7ed6680161c8afd49ea7d)
那么特征方程就是二次方程
![{\displaystyle p^{2}+bp+c=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509cc34aeea5b0b6a184a45284fdd9cde48b9e79)
其根为
![{\displaystyle p_{\pm }={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9313a6dba0689a212980d6c9c731b0cfce97e958)
依
的符号不同,我们有以下三种情况:
一、
此时方程有两个不同实根,我们可直接写出解
![{\displaystyle y=C_{1}e^{p_{+}}+C_{2}e^{p_{-}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11951b05432905863360c7a2d7bed87dc40fb025)
二、
此时方程有两个虚根。我们可以像上面那样直接把它们写到表达式中,但其实还有另一种更好的形式。
令
,则解为
![{\displaystyle y=C_{+}e^{ikx-{\frac {bx}{2}}}+C_{-}e^{-ikx-{\frac {bx}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bbce3e544aa1cecc42c8cd9c3c6fcb46683327)
这个表达式如果是实数,两个
必定共轭,即
![{\displaystyle C_{\pm }=Ce^{\pm ia}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ee908acd94520b09adcb5c9c3ccb9d2037d805)
代入,得
![{\displaystyle y=Ce^{\frac {-bx}{2}}\cos(kx+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276ab84ac70d416f0a9fa1a661fb0e8cab114d4f)
三、
此时方程有两个相等的实根
。我们得使用另一种方法来找到另一个不同的解。
为此,我们使用常数变易法。用
表示
和
,待解方程变为
![{\displaystyle D^{2}y-2pDy+p^{2}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97c67c41c9d45df0183543e3eb39167310d7d20)
从这个特征方程我们可以知道方程的一个解是
,因此我们令
,得到
![{\displaystyle (e^{px}D^{2}z+2pe^{px}Dz+p^{2}e^{px}z)-2p(e^{px}Dz+pe^{px}z)+p^{2}e^{px}z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68abff639831709a547e4bebb85a9cd82ed0b49)
所以
,于是
,![{\displaystyle y=(C_{1}x+C_{2})e^{px}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e848ec9837f310372a0e9035e50e4116314a123)
所以这第二个解就是第一个解乘
。
高阶方程的处理方法也是这样的。比如说,如果特征方程是这样的:
![{\displaystyle (p-1)^{4}(p-3)(p^{2}+1)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4487f453baa11dfcbfeff9f19adaa9aa8209ccf2)
那么对应的常微分方程的通解就是
![{\displaystyle y=(C_{1}+C_{2}x+C_{3}x^{2}+C_{4}x^{3})e^{x}+C_{5}e^{3x}+C_{6}\cos(x+c_{1})+C_{7}x\cos(x+c_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4937f70b87c5c4fb89ddea88656016d3f777a9d)
过程中最困难的部分就是找到特征方程的解。