微積分學/常微分方程

維基教科書,自由的教學讀本
跳至導覽 跳至搜尋

常微分方程是未知函數只含有一個自變量的微分方程。

其實,在之前的學習過程中,你已經研究過一些非常簡單的微分方程的解。比如說

其中為函數,你實際上是在解微分方程

符號和術語[編輯]

使用恰當的符號可以讓我們解微分方程更容易。

本文將主要使用以下四個符號來表示的導數:

  • (用於可分離變量方程)

術語[編輯]

考慮如下微分方程

方程中導數最高為2階,因此我們說該方程為二階微分方程

一些簡單的微分方程[編輯]

求解微分方程的一個關鍵思想是積分。

我們來考慮下面這個二階微分方程

我們怎麼解決這個問題呢?方程告訴我們,求兩次導以後,得到常數2,所以,如果我們積分兩次,應該就能算出答案。

積分一次:

我們已經把困難的二階微分方程轉化成了一個簡單點的方程,即

這個等式告訴我們,把函數求一次導,可以得到。我們再積分一次,就能算出答案了。

這就是微分方程的。對任意,都有

初始條件的值有關。如果待解方程給定了初始條件,我們可以在積分之後替換進去。

例題[編輯]

求解 ,初始條件為

解答過程會比上面多這麼幾步:

如果沒有初始條件,我們算出的答案就叫通解;如果有初始條件,就叫特解

基本一階微分方程[編輯]

在本節中,我們將研究四種微分方程:

  • 可分離變量方程
  • 齊次方程
  • 線性方程
  • 全微分方程

此外,還有許多其他形式的微分方程,將在下一節中討論。

可分離變量方程[編輯]

可分離變量方程基本形式為(這裏使用更方便)

之前我們只處理過的微分方程。上面那個可分離變量方程怎麼解決呢?

我們把變量放到一起

兩邊分別對積分

便能得到解答。

例題[編輯]

求解

分離變量

兩邊積分

,其中為常數,得到

這便是上述方程的通解。

驗算[編輯]

這一步不是必要的,但是可以用來驗證答案的正確性。

我們算出來的答案是

題目是

把答案對微分,得

由於,所以

我們得到了題給的微分方程,因此我們的答案是正確的。

齊次方程[編輯]

齊次方程形式為

這看起來很困難,但我們可以令,得到

現在只需處理而非了。

再用來表示,即

於是

就變成了可分離變量方程。

例題[編輯]

求解

我們把式子寫成這樣

,得到

再用來表示

兩邊消去,化簡

分離變量

兩邊積分

這便是上述方程的通解。

線性方程[編輯]

一階線性微分方程形式為

注意到方程兩邊同時乘或除的任意非零函數,都不會對解產生影響。

乍一看,等式左邊不能直接積分。但是,有一個特殊情況。如果的導數,我們就可以這麼辦

現在,積分就很簡單了。

我們把原方程兩邊同時乘以任意一個函數,得到

我們假設如下條件:

如果這個條件滿足,就可以用上面說的那種辦法了。

這個條件其實等價於

積分,得

把常數設為1,不會對結果產生影響。

代入原方程,得

化簡,得

兩邊積分並除以

我們稱積分因子。類似的方法也可用於其他一些微積分問題。

例題[編輯]

求解

,初始條件為

首先算出積分因子

方程兩邊同時乘,得

積分,得

全微分方程[編輯]

全微分方程形式為

且有性質

(即的導數等於的導數)

(如果微分方程沒有這個性質,那麼我們就不能再繼續解下去了。)

因此,如果我們有一個全微分方程,那麼就存在一個函數使得

,且

於是解的形式為

便可通過積分找到

基本二階和高階常微分方程[編輯]

階常微分方程的通解會含有個積分常量。要把它們都計算出來,我們還需要個方程。大多數情況下,題目會給定

邊緣條件,即取兩個不同的值時及其導數的值

或者

初始條件,即取某一值時及其前階導數的值。

可降階常微分方程[編輯]

一、如果自變量不出現在微分方程中,那麼我們便可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

將這兩個表達式代入原方程,我們得到

=0

這便是一個一階微分方程。

例題[編輯]

求解

其中當時,

首先,我們進行代換,得到

這是一個一階常微分方程。整理並分離變量,得

兩邊積分,得

我們知道了當的值,所以我們可以求出

接下來

然後開平方根

要找到根號外面是取正號還是取負號,我們可以再用一遍初始條件,便可以把符號排除,得到

其解為

因為當,所以,於是

二、如果因變量不出現在微分方程中,那麼我們也可以把二階微分方程降為一階微分方程。

考慮方程

將這兩個表達式代入原方程,我們得到

=0

這便是一個一階微分方程。

線性常微分方程[編輯]

稱形如

的常微分方程為線性。這類方程比典型的非線性常微分方程更容易解決。初等函數只能解決少數特殊情況,但一般的線性常微分方程的解法超出本書討論範圍。

若對任意,則稱該常微分方程齊次

一般的線性方程有這麼兩個有用的性質:

  1. 一個齊次線性方程的解的任意線性組合都是該方程的解;
  2. 如果已知一個非齊次線性方程的解,我們給它加上對應的齊次線性方程的任意一個解,就會得到該非齊次線性方程的另一個解。

常數變易法[編輯]

假設我們有一個線性常微分方程

並且我們知道它的一個解為

由性質可知總是原方程的一個解,因此方程便變為階線性方程。

我們知道為常數是方程的一個解,因此的這個常微分方程一定不含有項,所以它實際上是一個階線性常微分方程,這樣便使方程降了一階。

例題[編輯]

求解

方程的一個解為,因此我們把代入方程,得到

化簡,得

這是一個的一階方程,解得

由於方程是線性的,兩個解的線性組合便是通解,即

常系數線性齊次常微分方程[編輯]

假設我們有一個常微分方程

我們猜測有一個解為

這個函數,因此方程變為

顯然是一個解,不考慮。我們只需研究

這是原方程的特徵方程

這個方程可以有多達個解,每一個都對應着原方程的一個解。

由於方程是線性的,個解的線性組合便是通解,即

二階[編輯]

如果常微分方程是二階

那麼特徵方程就是二次方程

其根為

的符號不同,我們有以下三種情況:

一、

此時方程有兩個不同實根,我們可直接寫出解

二、

此時方程有兩個虛根。我們可以像上面那樣直接把它們寫到表達式中,但其實還有另一種更好的形式。

,則解為

這個表達式如果是實數,兩個必定共軛,即

代入,得

三、

此時方程有兩個相等的實根。我們得使用另一種方法來找到另一個不同的解。

為此,我們使用常數變易法。用表示,待解方程變為

從這個特徵方程我們可以知道方程的一個解是,因此我們令,得到

所以,於是

所以這第二個解就是第一個解乘

高階方程的處理方法也是這樣的。比如說,如果特徵方程是這樣的:

那麼對應的常微分方程的通解就是

過程中最困難的部分就是找到特徵方程的解。